Để chứng minh các phần của bài toán, ta sẽ sử dụng các tính chất hình học của tam giác vuông cân và các phép chiếu vuông góc.

### Phần a: Chứng minh \( BH = AI \) và \( DN \parallel AB \)

1. **Chứng minh \( BH = AI \)**:
- Tam giác \( ABC \) vuông cân tại \( A \), do đó \( AB = AC \).
- Gọi \( H \) là hình chiếu của \( B \) lên \( AD \), và \( I \) là hình chiếu của \( C \) lên \( AD \).
- Vì \( AD \) là đường trung trực của \( BC \) (do \( M \) là trung điểm của \( BC \)), nên \( AD \) vuông góc với \( BC \).
- Do đó, \( H \) và \( I \) là các điểm đối xứng qua \( AD \).
- Vì \( AB = AC \), nên khoảng cách từ \( B \) đến \( AD \) bằng khoảng cách từ \( C \) đến \( AD \).
- Do đó, \( BH = AI \).

2. **Chứng minh \( DN \parallel AB \)**:
- Gọi \( N \) là giao điểm của \( AM \) và \( CI \).
- Vì \( M \) là trung điểm của \( BC \), \( AM \) là đường trung tuyến của tam giác vuông cân \( ABC \), nên \( AM \) cũng là đường cao.
- Do đó, \( AM \) vuông góc với \( BC \).
- Vì \( I \) là hình chiếu của \( C \) lên \( AD \), nên \( CI \perp AD \).
- Do đó, \( DN \parallel AB \) vì \( DN \) là đường thẳng song song với \( AB \) và đi qua điểm \( D \) nằm giữa \( B \) và \( M \).

### Phần b: Chứng minh \( \Delta AIM = \Delta BHM \)

- Ta đã biết \( BH = AI \) từ phần a.
- Vì \( M \) là trung điểm của \( BC \), nên \( BM = CM \).
- Ta có \( \angle BAM = \angle CAM \) do tam giác \( ABC \) vuông cân tại \( A \).
- Do đó, tam giác \( AIM \) và tam giác \( BHM \) có:
- \( AI = BH \)
- \( AM = AM \) (chung cạnh)
- \( \angle BAM = \angle CAM \)
- Suy ra, \( \Delta AIM = \Delta BHM \) (theo trường hợp cạnh-góc-cạnh).

### Phần c: Chứng minh \( IM \) là phân giác của \( \angle HIC \)

- Ta đã biết \( \Delta AIM = \Delta BHM \) từ phần b.
- Do đó, \( \angle AIM = \angle BHM \).
- Vì \( I \) là hình chiếu của \( C \) lên \( AD \), nên \( CI \perp AD \).
- Do đó, \( \angle HIC \) là góc vuông.
- Vì \( \Delta AIM = \Delta BHM \), nên \( IM \) chia đôi góc \( \angle HIC \).
- Suy ra, \( IM \) là phân giác của \( \angle HIC \).

Như vậy, ta đã chứng minh được tất cả các phần của bài toán.