Để tính số tiền mà mẹ đã đưa cho An, ta cộng tất cả các tờ tiền lại:

- 1 tờ tiền mệnh giá 100,000 đồng: \( 1 \times 100,000 = 100,000 \) đồng
- 3 tờ tiền mệnh giá 20,000 đồng: \( 3 \times 20,000 = 60,000 \) đồng
- 4 tờ tiền mệnh giá 10,000 đồng: \( 4 \times 10,000 = 40,000 \) đồng
- 1 tờ tiền mệnh giá 5,000 đồng: \( 1 \times 5,000 = 5,000 \) đồng

Tổng số tiền An có là:
\[ 100,000 + 60,000 + 40,000 + 5,000 = 205,000 \text{ đồng} \]

Giá mỗi quyển vở là 5,500 đồng. Để biết An có thể mua được nhiều nhất bao nhiêu quyển vở, ta chia tổng số tiền cho giá mỗi quyển vở:
\[ \frac{205,000}{5,500} \approx 37.27 \]

Vì An không thể mua được một phần của quyển vở, nên An có thể mua được nhiều nhất 37 quyển vở.

Vậy, An mua được nhiều nhất 37 quyển vở.