Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần sử dụng nguyên lý của bình thông nhau và áp suất chất lỏng. Khi hệ thống đạt trạng thái cân bằng, áp suất tại cùng một độ cao trong hai nhánh của ống chữ U phải bằng nhau.

Giả sử:
- Chiều cao của cột dầu (tính từ mặt thoáng dầu đến điểm cân bằng) là \( h_d \).
- Chiều cao của cột nước (tính từ mặt thoáng nước đến điểm cân bằng) là \( h_n \).
- Khoảng chênh lệch chiều cao giữa mặt thoáng dầu và mặt thoáng nước là \( d \).
- Khối lượng riêng của dầu là \( \rho_d \).
- Khối lượng riêng của nước là \( \rho_n \).

Khi hệ thống cân bằng, áp suất tại điểm cân bằng trong nhánh chứa dầu phải bằng áp suất tại điểm cân bằng trong nhánh chứa nước. Áp suất tại điểm cân bằng trong nhánh chứa dầu là do cột dầu gây ra, và áp suất tại điểm cân bằng trong nhánh chứa nước là do cột nước gây ra.

Áp suất tại điểm cân bằng trong nhánh chứa dầu:
\[ P_d = \rho_d \cdot g \cdot h_d \]

Áp suất tại điểm cân bằng trong nhánh chứa nước:
\[ P_n = \rho_n \cdot g \cdot h_n \]

Vì áp suất tại điểm cân bằng là bằng nhau:
\[ \rho_d \cdot g \cdot h_d = \rho_n \cdot g \cdot h_n \]

Chúng ta có thể bỏ \( g \) (gia tốc trọng trường) vì nó là hằng số và xuất hiện ở cả hai vế của phương trình:
\[ \rho_d \cdot h_d = \rho_n \cdot h_n \]

Do chiều cao của cột dầu cao hơn chiều cao của cột nước một khoảng \( d \), ta có:
\[ h_d = h_n + d \]

Thay \( h_d \) vào phương trình cân bằng áp suất:
\[ \rho_d \cdot (h_n + d) = \rho_n \cdot h_n \]

Giải phương trình này để tìm \( h_n \):
\[ \rho_d \cdot h_n + \rho_d \cdot d = \rho_n \cdot h_n \]
\[ \rho_d \cdot d = \rho_n \cdot h_n - \rho_d \cdot h_n \]
\[ \rho_d \cdot d = h_n \cdot (\rho_n - \rho_d) \]
\[ h_n = \frac{\rho_d \cdot d}{\rho_n - \rho_d} \]

Vậy chiều cao của cột nước là:
\[ h_n = \frac{\rho_d \cdot d}{\rho_n - \rho_d} \]

Chiều cao của cột dầu là:
\[ h_d = h_n + d = \frac{\rho_d \cdot d}{\rho_n - \rho_d} + d \]

Đây là cách tính chiều cao của cột nước và cột dầu trong ống chữ U khi hệ thống đạt trạng thái cân bằng.