Để giải phương trình \( x^3 + 5x - 6 = 0 \), ta có thể thử các giá trị của \( x \) để tìm nghiệm nguyên trước. Sau đó, nếu tìm được một nghiệm nguyên, ta có thể sử dụng phương pháp chia đa thức để phân tích phương trình thành các nhân tử.

Bước 1: Thử các giá trị nguyên của \( x \).

- Thử \( x = 1 \):
\[
1^3 + 5 \cdot 1 - 6 = 1 + 5 - 6 = 0
\]
Vậy \( x = 1 \) là một nghiệm của phương trình.

Bước 2: Chia đa thức \( x^3 + 5x - 6 \) cho \( x - 1 \) để tìm các nhân tử còn lại.

Sử dụng phép chia đa thức:

\[
\begin{array}{r|rrr}
& 1 & 0 & 5 & -6 \\
1 & & 1 & 1 & 6 \\
\hline
& 1 & 1 & 6 & 0 \\
\end{array}
\]

Kết quả của phép chia là \( x^2 + x + 6 \).

Vậy phương trình ban đầu có thể được viết lại dưới dạng:
\[
(x - 1)(x^2 + x + 6) = 0
\]

Bước 3: Giải phương trình bậc hai \( x^2 + x + 6 = 0 \).

Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \( ax^2 + bx + c = 0 \):
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Ở đây, \( a = 1 \), \( b = 1 \), và \( c = 6 \):
\[
x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 24}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{-23}}{2}
\]

Vì \(\sqrt{-23}\) là một số phức, ta có:
\[
x = \frac{-1 \pm i\sqrt{23}}{2}
\]

Vậy nghiệm của phương trình \( x^3 + 5x - 6 = 0 \) là:
\[
x = 1, \quad x = \frac{-1 + i\sqrt{23}}{2}, \quad x = \frac{-1 - i\sqrt{23}}{2}
\]