Để chứng minh bất đẳng thức \(\sqrt{c(a-c)} + \sqrt{c(b-c)} \leq \sqrt{ab}\) với \(a > c > 0\) và \(b > c > 0\), ta có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

Xét bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho hai dãy số \((\sqrt{c}, \sqrt{c})\) và \((\sqrt{a-c}, \sqrt{b-c})\):

\[
(\sqrt{c} \cdot \sqrt{a-c} + \sqrt{c} \cdot \sqrt{b-c})^2 \leq (\sqrt{c}^2 + \sqrt{c}^2)((\sqrt{a-c})^2 + (\sqrt{b-c})^2)
\]

Đơn giản hóa vế trái:

\[
(\sqrt{c(a-c)} + \sqrt{c(b-c)})^2
\]

Đơn giản hóa vế phải:

\[
(2c)((a-c) + (b-c)) = 2c(a-c + b-c) = 2c(a + b - 2c)
\]

Do đó, ta có:

\[
(\sqrt{c(a-c)} + \sqrt{c(b-c)})^2 \leq 2c(a + b - 2c)
\]

Bây giờ, ta cần chứng minh rằng:

\[
2c(a + b - 2c) \leq ab
\]

Chia cả hai vế cho \(c\):

\[
2(a + b - 2c) \leq \frac{ab}{c}
\]

Nhân cả hai vế với \(c\):

\[
2c(a + b - 2c) \leq ab
\]

Điều này đúng vì \(a > c\) và \(b > c\), do đó \(a + b - 2c\) là một số dương và \(2c(a + b - 2c)\) sẽ nhỏ hơn hoặc bằng \(ab\).

Vậy ta có:

\[
(\sqrt{c(a-c)} + \sqrt{c(b-c)})^2 \leq ab
\]

Lấy căn bậc hai hai vế, ta được:

\[
\sqrt{c(a-c)} + \sqrt{c(b-c)} \leq \sqrt{ab}
\]

Điều này chứng minh rằng bất đẳng thức \(\sqrt{c(a-c)} + \sqrt{c(b-c)} \leq \sqrt{ab}\) là đúng.