Cho tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \) có \( \angle ABC > 60^\circ \). Lấy điểm \( M \) trên cạnh \( BC \). Về phía điểm \( A \) so với đường thẳng \( BC \) vẽ các tia \( Bx \), \( Cy \) cùng vuông góc với \( BC \). Đường thẳng qua \( A \) và vuông góc với \( AM \) cắt \( Bx \) tại \( D \), cắt \( Cy \) tại \( E \).

a) Chứng minh \( \triangle CAM \) đồng dạng \( \triangle BAD \):

- Xét \( \triangle CAM \) và \( \triangle BAD \):
- \( \angle CAM = \angle BAD \) (cùng bằng \( 90^\circ \) do \( Bx \) vuông góc với \( BC \)).
- \( \angle BAC \) là góc chung.

Do đó, \( \triangle CAM \) đồng dạng với \( \triangle BAD \) theo trường hợp đồng dạng góc-góc (AA).

b) Chứng minh \( \triangle ABC \) đồng dạng \( \triangle ADM \):

- Xét \( \triangle ABC \) và \( \triangle ADM \):
- \( \angle BAC \) là góc chung.
- \( \angle ABC = \angle ADM \) (cùng bằng \( 90^\circ \) do \( Cy \) vuông góc với \( BC \)).

Do đó, \( \triangle ABC \) đồng dạng với \( \triangle ADM \) theo trường hợp đồng dạng góc-góc (AA).

c) Chứng minh \( \frac{AE}{AC} = \frac{AM}{AB} \) và \( MD^2 = DA \cdot DE \):

- Xét \( \triangle AEC \) và \( \triangle AMB \):
- \( \angle AEC = \angle AMB \) (cùng bằng \( 90^\circ \)).
- \( \angle BAC \) là góc chung.

Do đó, \( \triangle AEC \) đồng dạng với \( \triangle AMB \) theo trường hợp đồng dạng góc-góc (AA), từ đó suy ra:
\[ \frac{AE}{AC} = \frac{AM}{AB} \]

- Xét \( \triangle ADM \) và \( \triangle DME \):
- \( \angle ADM = \angle DME \) (cùng bằng \( 90^\circ \)).
- \( \angle AMD \) là góc chung.

Do đó, \( \triangle ADM \) đồng dạng với \( \triangle DME \) theo trường hợp đồng dạng góc-góc (AA), từ đó suy ra:
\[ \frac{AD}{DM} = \frac{DM}{DE} \]
hay
\[ DM^2 = DA \cdot DE \]

d) Khi \( \frac{S_{ABC}}{S_{MDE}} = \frac{1}{4} \), tính góc \( \angle AMB \):

- Diện tích của \( \triangle ABC \) là:
\[ S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot AC \]

- Diện tích của \( \triangle MDE \) là:
\[ S_{MDE} = \frac{1}{2} MD \cdot DE \]

Do \( \frac{S_{ABC}}{S_{MDE}} = \frac{1}{4} \), ta có:
\[ \frac{\frac{1}{2} AB \cdot AC}{\frac{1}{2} MD \cdot DE} = \frac{1}{4} \]
hay
\[ \frac{AB \cdot AC}{MD \cdot DE} = \frac{1}{4} \]

Từ phần c) ta có:
\[ MD^2 = DA \cdot DE \]
hay
\[ MD = \sqrt{DA \cdot DE} \]

Do đó:
\[ \frac{AB \cdot AC}{\sqrt{DA \cdot DE} \cdot DE} = \frac{1}{4} \]
hay
\[ \frac{AB \cdot AC}{DE \cdot \sqrt{DA \cdot DE}} = \frac{1}{4} \]

Từ đây, ta có thể suy ra các mối quan hệ giữa các đoạn thẳng và góc trong tam giác. Tuy nhiên, để tính chính xác góc \( \angle AMB \), ta cần thêm thông tin về các đoạn thẳng hoặc góc cụ thể trong tam giác.