### Bài 1

Cho hàm số \( y = (m - 2)x - 3 + m \).

#### a) Tìm \( m \) để hàm số xác định trên \( \mathbb{R} \)

Hàm số \( y = (m - 2)x - 3 + m \) là một hàm bậc nhất, do đó nó luôn xác định trên \( \mathbb{R} \) với mọi giá trị của \( m \). Vậy \( m \) có thể là bất kỳ số thực nào.

#### b) Tìm \( m \) để đồ thị hàm số đi qua điểm \( A(1,1) \)

Để đồ thị hàm số đi qua điểm \( A(1,1) \), ta thay \( x = 1 \) và \( y = 1 \) vào phương trình của hàm số:

\[ 1 = (m - 2) \cdot 1 - 3 + m \]

Giải phương trình này:

\[ 1 = m - 2 - 3 + m \]
\[ 1 = 2m - 5 \]
\[ 2m = 6 \]
\[ m = 3 \]

Vậy \( m = 3 \).

#### c) Vẽ đồ thị hàm số khi \( m = 1 \)

Khi \( m = 1 \), hàm số trở thành:

\[ y = (1 - 2)x - 3 + 1 \]
\[ y = -x - 2 \]

Để vẽ đồ thị hàm số này, ta cần xác định hai điểm thuộc đồ thị:

- Khi \( x = 0 \):
\[ y = -0 - 2 = -2 \]
Vậy điểm (0, -2) thuộc đồ thị.

- Khi \( x = 2 \):
\[ y = -2 - 2 = -4 \]
Vậy điểm (2, -4) thuộc đồ thị.

Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm (0, -2) và (2, -4).

### Bài 2

Cho hàm số \( y = x - 3 \) (đường thẳng \( d_2 \)).

#### a) Vẽ \( d_1 \) và \( d_2 \) trên cùng một hệ trục tọa độ

Đường thẳng \( d_1 \) là đồ thị của hàm số \( y = -x - 2 \) (khi \( m = 1 \) từ bài 1).

- Đường thẳng \( d_1 \): \( y = -x - 2 \)
- Khi \( x = 0 \), \( y = -2 \) (điểm (0, -2)).
- Khi \( x = 2 \), \( y = -4 \) (điểm (2, -4)).

- Đường thẳng \( d_2 \): \( y = x - 3 \)
- Khi \( x = 0 \), \( y = -3 \) (điểm (0, -3)).
- Khi \( x = 3 \), \( y = 0 \) (điểm (3, 0)).

Vẽ hai đường thẳng này trên cùng một hệ trục tọa độ.

#### b) Tìm tọa độ giao điểm của \( d_1 \) và \( d_2 \)

Để tìm tọa độ giao điểm của \( d_1 \) và \( d_2 \), ta giải hệ phương trình:

\[ \begin{cases}
y = -x - 2 \\
y = x - 3
\end{cases} \]

Giải hệ phương trình này:

\[ -x - 2 = x - 3 \]
\[ -2x = -1 \]
\[ x = \frac{1}{2} \]

Thay \( x = \frac{1}{2} \) vào phương trình \( y = x - 3 \):

\[ y = \frac{1}{2} - 3 = -\frac{5}{2} \]

Vậy tọa độ giao điểm của \( d_1 \) và \( d_2 \) là \( \left( \frac{1}{2}, -\frac{5}{2} \right) \).