Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

### a) Tính diện tích tam giác ABC

Diện tích tam giác ABC được tính bằng công thức:
\[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times BC \times AH \]

Với \( BC = 10 \) cm và \( AH = 9 \) cm, ta có:
\[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times 10 \times 9 = 45 \text{ cm}^2 \]

### b) Tính diện tích tứ giác MNPQ

Trước hết, ta cần xác định các điểm M, N, P và Q:
- M là trung điểm của AB.
- N là trung điểm của AC.
- P là trung điểm của AM.
- Q là trung điểm của AN.

Do M và N là trung điểm của AB và AC, nên tam giác AMN là tam giác con của tam giác ABC với diện tích bằng \(\frac{1}{4}\) diện tích tam giác ABC (vì mỗi cạnh của tam giác AMN bằng \(\frac{1}{2}\) cạnh của tam giác ABC).

Diện tích tam giác AMN:
\[ S_{AMN} = \frac{1}{4} \times S_{ABC} = \frac{1}{4} \times 45 = 11.25 \text{ cm}^2 \]

Tiếp theo, P và Q là trung điểm của AM và AN, nên tứ giác MNPQ là một hình bình hành nhỏ hơn trong tam giác AMN. Diện tích của tứ giác MNPQ bằng \(\frac{1}{4}\) diện tích tam giác AMN (vì mỗi cạnh của tứ giác MNPQ bằng \(\frac{1}{2}\) cạnh của tam giác AMN).

Diện tích tứ giác MNPQ:
\[ S_{MNPQ} = \frac{1}{4} \times S_{AMN} = \frac{1}{4} \times 11.25 = 2.8125 \text{ cm}^2 \]

Vậy diện tích tứ giác MNPQ là \(2.8125 \text{ cm}^2\).