Cho tam giác \( \Delta ABC \) với trung tuyến \( AO \), trọng tâm \( G \), đường thẳng đi qua \( G \) cắt \( AB \) và \( AC \) lần lượt tại \( M \) và \( N \). Từ \( B \) và \( C \) kẻ các đường thẳng song song với \( MN \) cắt \( AO \) lần lượt tại \( H \) và \( K \). Ta cần chứng minh rằng:

\[ \frac{AB}{AM} + \frac{AC}{AN} = 3. \]

Để chứng minh điều này, ta sẽ sử dụng một số tính chất của trọng tâm và trung tuyến trong tam giác.

1. **Tính chất của trọng tâm**: Trọng tâm \( G \) của tam giác chia mỗi trung tuyến thành hai đoạn, trong đó đoạn nối từ đỉnh đến trọng tâm bằng 2/3 độ dài trung tuyến, và đoạn còn lại bằng 1/3 độ dài trung tuyến.

2. **Tính chất của đường thẳng song song**: Nếu hai đường thẳng song song cắt hai cạnh của một tam giác, thì chúng sẽ chia các cạnh đó theo cùng một tỉ lệ.

Bây giờ, ta sẽ đi vào chi tiết chứng minh.

### Bước 1: Xác định vị trí của trọng tâm \( G \)

Trọng tâm \( G \) của tam giác \( \Delta ABC \) nằm trên trung tuyến \( AO \) và chia \( AO \) theo tỉ lệ \( AG:GO = 2:1 \).

### Bước 2: Sử dụng tính chất của trọng tâm

Vì \( M \) và \( N \) nằm trên \( AB \) và \( AC \) và đường thẳng \( MN \) đi qua trọng tâm \( G \), ta có:

\[ \frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC} = 2. \]

Điều này có nghĩa là:

\[ AM = \frac{2}{3}AB \quad \text{và} \quad AN = \frac{2}{3}AC. \]

### Bước 3: Tính tỉ số \( \frac{AB}{AM} \) và \( \frac{AC}{AN} \)

Từ \( AM = \frac{2}{3}AB \), ta có:

\[ \frac{AB}{AM} = \frac{AB}{\frac{2}{3}AB} = \frac{3}{2}. \]

Tương tự, từ \( AN = \frac{2}{3}AC \), ta có:

\[ \frac{AC}{AN} = \frac{AC}{\frac{2}{3}AC} = \frac{3}{2}. \]

### Bước 4: Tổng hợp kết quả

Cộng hai tỉ số vừa tìm được:

\[ \frac{AB}{AM} + \frac{AC}{AN} = \frac{3}{2} + \frac{3}{2} = 3. \]

Vậy ta đã chứng minh được rằng:

\[ \frac{AB}{AM} + \frac{AC}{AN} = 3. \]

Điều này hoàn toàn phù hợp với yêu cầu của bài toán.