Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của trọng tâm, trung tuyến và các định lý liên quan đến tam giác.

**Phần a)** Chứng minh rằng \(\frac{BE}{AE} = \frac{MG}{AG}\).

1. **Trọng tâm G** của tam giác ABC là giao điểm của ba trung tuyến và chia mỗi trung tuyến thành hai đoạn theo tỉ lệ 2:1, tức là \(AG = \frac{2}{3}AD\) và \(GD = \frac{1}{3}AD\).

2. **Đường thẳng qua G** cắt \(AB\) tại \(E\) và \(AC\) tại \(F\). Vì \(G\) là trọng tâm, nên \(E\) và \(F\) chia \(AB\) và \(AC\) theo tỉ lệ 2:1. Cụ thể, \(AE = \frac{2}{3}AB\) và \(AF = \frac{2}{3}AC\).

3. **Đường thẳng EF** cắt \(AD\) tại \(M\) và \(N\). Ta cần chứng minh rằng \(\frac{BE}{AE} = \frac{MG}{AG}\).

4. **Xét tam giác ABE** và tam giác AGM:
- Trong tam giác ABE, \(E\) chia \(AB\) theo tỉ lệ 2:1, tức là \(AE = \frac{2}{3}AB\) và \(BE = \frac{1}{3}AB\).
- Trong tam giác AGM, \(G\) chia \(AD\) theo tỉ lệ 2:1, tức là \(AG = \frac{2}{3}AD\) và \(MG = \frac{1}{3}AD\).

5. **Tỉ lệ cần chứng minh**:
\[
\frac{BE}{AE} = \frac{\frac{1}{3}AB}{\frac{2}{3}AB} = \frac{1}{2}
\]
\[
\frac{MG}{AG} = \frac{\frac{1}{3}AD}{\frac{2}{3}AD} = \frac{1}{2}
\]

6. **Kết luận**: \(\frac{BE}{AE} = \frac{MG}{AG}\).

**Phần b)** Chứng minh rằng \(\frac{BE}{AE} + \frac{CF}{AF} = 1\).

1. **Tỉ lệ trong tam giác**:
- Từ phần a, ta đã biết \(E\) chia \(AB\) theo tỉ lệ 2:1, tức là \(AE = \frac{2}{3}AB\) và \(BE = \frac{1}{3}AB\).
- Tương tự, \(F\) chia \(AC\) theo tỉ lệ 2:1, tức là \(AF = \frac{2}{3}AC\) và \(CF = \frac{1}{3}AC\).

2. **Tính tỉ lệ**:
\[
\frac{BE}{AE} = \frac{\frac{1}{3}AB}{\frac{2}{3}AB} = \frac{1}{2}
\]
\[
\frac{CF}{AF} = \frac{\frac{1}{3}AC}{\frac{2}{3}AC} = \frac{1}{2}
\]

3. **Tổng tỉ lệ**:
\[
\frac{BE}{AE} + \frac{CF}{AF} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1
\]

4. **Kết luận**: \(\frac{BE}{AE} + \frac{CF}{AF} = 1\).

Như vậy, chúng ta đã chứng minh được cả hai phần của bài toán.