Để tìm các cặp số nguyên \((x, y)\) thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:
1. \(x - y = 2\)
2. \(|2x + 1| + |2y + 1| = 4\)

Chúng ta sẽ giải từng bước như sau:

### Bước 1: Sử dụng điều kiện \(x - y = 2\)
Từ điều kiện này, ta có thể viết lại \(x\) theo \(y\):
\[ x = y + 2 \]

### Bước 2: Thay \(x = y + 2\) vào điều kiện thứ hai
Thay \(x = y + 2\) vào \(|2x + 1| + |2y + 1| = 4\):
\[ |2(y + 2) + 1| + |2y + 1| = 4 \]
\[ |2y + 4 + 1| + |2y + 1| = 4 \]
\[ |2y + 5| + |2y + 1| = 4 \]

### Bước 3: Xét các trường hợp của giá trị tuyệt đối
Ta cần xét các trường hợp khác nhau của giá trị tuyệt đối để giải quyết bài toán.

#### Trường hợp 1: \(2y + 5 \geq 0\) và \(2y + 1 \geq 0\)
Điều này tương đương với:
\[ 2y + 5 \geq 0 \Rightarrow y \geq -\frac{5}{2} \]
\[ 2y + 1 \geq 0 \Rightarrow y \geq -\frac{1}{2} \]
Vì \(y \geq -\frac{1}{2}\) là điều kiện chặt hơn, ta chỉ cần xét \(y \geq -\frac{1}{2}\).

Trong trường hợp này:
\[ |2y + 5| = 2y + 5 \]
\[ |2y + 1| = 2y + 1 \]
Phương trình trở thành:
\[ (2y + 5) + (2y + 1) = 4 \]
\[ 4y + 6 = 4 \]
\[ 4y = -2 \]
\[ y = -\frac{1}{2} \]
Nhưng \(y = -\frac{1}{2}\) không phải là số nguyên, nên không có nghiệm trong trường hợp này.

#### Trường hợp 2: \(2y + 5 \geq 0\) và \(2y + 1 < 0\)
Điều này tương đương với:
\[ 2y + 5 \geq 0 \Rightarrow y \geq -\frac{5}{2} \]
\[ 2y + 1 < 0 \Rightarrow y < -\frac{1}{2} \]
Vì \(y \geq -\frac{5}{2}\) và \(y < -\frac{1}{2}\), ta chỉ cần xét \(-\frac{5}{2} \leq y < -\frac{1}{2}\).

Trong trường hợp này:
\[ |2y + 5| = 2y + 5 \]
\[ |2y + 1| = -(2y + 1) = -2y - 1 \]
Phương trình trở thành:
\[ (2y + 5) + (-2y - 1) = 4 \]
\[ 2y + 5 - 2y - 1 = 4 \]
\[ 4 = 4 \]
Phương trình này luôn đúng với mọi \(y\) trong khoảng \(-\frac{5}{2} \leq y < -\frac{1}{2}\). Tuy nhiên, ta cần tìm các giá trị nguyên của \(y\) trong khoảng này:
\[ y = -2 \]

Thay \(y = -2\) vào \(x = y + 2\):
\[ x = -2 + 2 = 0 \]
Vậy, ta có cặp nghiệm \((x, y) = (0, -2)\).

#### Trường hợp 3: \(2y + 5 < 0\) và \(2y + 1 \geq 0\)
Điều này không thể xảy ra vì \(2y + 5 < 0\) và \(2y + 1 \geq 0\) mâu thuẫn với nhau.

#### Trường hợp 4: \(2y + 5 < 0\) và \(2y + 1 < 0\)
Điều này tương đương với:
\[ 2y + 5 < 0 \Rightarrow y < -\frac{5}{2} \]
\[ 2y + 1 < 0 \Rightarrow y < -\frac{1}{2} \]
Vì \(y < -\frac{5}{2}\) là điều kiện chặt hơn, ta chỉ cần xét \(y < -\frac{5}{2}\).

Trong trường hợp này:
\[ |2y + 5| = -(2y + 5) = -2y - 5 \]
\[ |2y + 1| = -(2y + 1) = -2y - 1 \]
Phương trình trở thành:
\[ (-2y - 5) + (-2y - 1) = 4 \]
\[ -4y - 6 = 4 \]
\[ -4y = 10 \]
\[ y = -\frac{5}{2} \]
Nhưng \(y = -\frac{5}{2}\) không phải là số nguyên, nên không có nghiệm trong trường hợp này.

### Kết luận
Cặp số nguyên \((x, y)\) duy nhất thỏa mãn cả hai điều kiện là:
\[ (x, y) = (0, -2) \]