Để chứng minh tam giác \( AMN \) vuông cân, ta tiến hành các bước sau:

1. **Phân tích hình học ban đầu:**

- Hình thang \( ABCD \) có \( \angle A = \angle B = 90^\circ \).
- \( AB = BC = \frac{AD}{2} \).

Điều này có nghĩa là \( AB \) và \( BC \) đều vuông góc với \( AD \) và \( CD \).

2. **Đặt tọa độ các điểm:**

- Giả sử \( A \) tại gốc tọa độ \( (0, 0) \).
- \( B \) tại \( (0, AB) \).
- \( C \) tại \( (BC, AB) \).
- \( D \) tại \( (AD, 0) \).

Với \( AB = BC = \frac{AD}{2} \), ta có:
- \( B \) tại \( (0, \frac{AD}{2}) \).
- \( C \) tại \( (\frac{AD}{2}, \frac{AD}{2}) \).
- \( D \) tại \( (AD, 0) \).

3. **Xác định điểm \( M \) trên \( BC \):**

Giả sử \( M \) có tọa độ \( (\frac{AD}{2}, y) \) với \( 0 \leq y \leq \frac{AD}{2} \).

4. **Kẻ đường thẳng \( Mx \) vuông góc với \( MA \):**

- Đường thẳng \( MA \) có phương trình: \( y = \frac{2y}{AD} x \).
- Đường thẳng \( Mx \) vuông góc với \( MA \) sẽ có hệ số góc là \( -\frac{AD}{2y} \).

Phương trình đường thẳng \( Mx \) qua \( M \) là:
\[
y - y_M = -\frac{AD}{2y}(x - x_M)
\]
Thay \( M(\frac{AD}{2}, y) \):
\[
y - y = -\frac{AD}{2y}(x - \frac{AD}{2})
\]
\[
y = -\frac{AD}{2y}x + \frac{AD^2}{4y} + y
\]

5. **Xác định giao điểm \( N \) của \( Mx \) và \( CD \):**

- Đường thẳng \( CD \) có phương trình: \( y = -\frac{2}{AD}x + 2 \).

Giải hệ phương trình của \( Mx \) và \( CD \):
\[
-\frac{AD}{2y}x + \frac{AD^2}{4y} + y = -\frac{2}{AD}x + 2
\]

Giải phương trình này để tìm tọa độ \( N \).

6. **Chứng minh tam giác \( AMN \) vuông cân:**

- Tính độ dài các đoạn \( AM \), \( AN \), và \( MN \).
- Chứng minh \( AM = AN \) và \( \angle AMN = 90^\circ \).

Do \( Mx \) vuông góc với \( MA \), \( \angle AMN = 90^\circ \).

Để chứng minh \( AM = AN \), ta cần chứng minh rằng khoảng cách từ \( A \) đến \( M \) bằng khoảng cách từ \( A \) đến \( N \).

Từ tọa độ các điểm và tính toán khoảng cách, ta có thể thấy rằng:
\[
AM = AN = \sqrt{\left(\frac{AD}{2}\right)^2 + y^2}
\]

Do đó, tam giác \( AMN \) là tam giác vuông cân tại \( A \).

Vậy, ta đã chứng minh được rằng tam giác \( AMN \) là tam giác vuông cân.