Để giải phương trình \( x^3 + x^2 + x + 1 = 0 \), ta có thể sử dụng một số phương pháp khác nhau. Một trong những phương pháp phổ biến là phân tích đa thức thành các nhân tử.

Đầu tiên, ta nhận thấy rằng phương trình có thể được viết lại như sau:
\[ x^3 + x^2 + x + 1 = 0 \]

Ta thử nghiệm các nghiệm hữu tỉ có thể có bằng cách sử dụng định lý về nghiệm hữu tỉ. Định lý này cho biết rằng nếu \( \frac{p}{q} \) là một nghiệm của đa thức với các hệ số nguyên, thì \( p \) phải là ước của hệ số tự do (ở đây là 1) và \( q \) phải là ước của hệ số của \( x^3 \) (ở đây cũng là 1). Do đó, các nghiệm hữu tỉ có thể có là \( \pm 1 \).

Ta thử nghiệm \( x = -1 \):
\[ (-1)^3 + (-1)^2 + (-1) + 1 = -1 + 1 - 1 + 1 = 0 \]

Vậy \( x = -1 \) là một nghiệm của phương trình. Bây giờ ta có thể phân tích đa thức bằng cách chia \( x^3 + x^2 + x + 1 \) cho \( x + 1 \).

Thực hiện phép chia đa thức:
\[ x^3 + x^2 + x + 1 \div (x + 1) \]

Ta thực hiện phép chia như sau:
1. Chia \( x^3 \) cho \( x \) được \( x^2 \).
2. Nhân \( x^2 \) với \( x + 1 \) được \( x^3 + x^2 \).
3. Trừ \( x^3 + x^2 \) khỏi \( x^3 + x^2 + x + 1 \) được \( x + 1 \).
4. Chia \( x \) cho \( x \) được \( 1 \).
5. Nhân \( 1 \) với \( x + 1 \) được \( x + 1 \).
6. Trừ \( x + 1 \) khỏi \( x + 1 \) được \( 0 \).

Vậy:
\[ x^3 + x^2 + x + 1 = (x + 1)(x^2 + 1) \]

Do đó, phương trình ban đầu trở thành:
\[ (x + 1)(x^2 + 1) = 0 \]

Giải phương trình này, ta có:
\[ x + 1 = 0 \quad \text{hoặc} \quad x^2 + 1 = 0 \]

Từ \( x + 1 = 0 \), ta có:
\[ x = -1 \]

Từ \( x^2 + 1 = 0 \), ta có:
\[ x^2 = -1 \]
\[ x = \pm i \]

Vậy các nghiệm của phương trình \( x^3 + x^2 + x + 1 = 0 \) là:
\[ x = -1, \quad x = i, \quad x = -i \]