Để giải bài toán này, ta cần xác định diện tích ban đầu của mảnh vườn hình vuông và diện tích sau khi mở rộng, sau đó tính tổng số cọc tre cần dùng để rào xung quanh mảnh vườn.

Gọi cạnh của mảnh vườn hình vuông ban đầu là \( x \) (đơn vị: mét).

Diện tích ban đầu của mảnh vườn là:
\[ x^2 \]

Sau khi mở rộng, mảnh vườn trở thành một hình chữ nhật có chiều dài gấp 2 lần chiều rộng. Gọi chiều rộng của hình chữ nhật sau khi mở rộng là \( y \) (đơn vị: mét), thì chiều dài sẽ là \( 2y \).

Diện tích của mảnh vườn sau khi mở rộng là:
\[ 2y \times y = 2y^2 \]

Theo đề bài, diện tích sau khi mở rộng tăng thêm 600 m² và gấp 4 lần diện tích ban đầu:
\[ 2y^2 = x^2 + 600 \]
\[ 2y^2 = 4x^2 \]

Từ phương trình thứ hai:
\[ y^2 = 2x^2 \]
\[ y = x\sqrt{2} \]

Thay \( y = x\sqrt{2} \) vào phương trình thứ nhất:
\[ 2(x\sqrt{2})^2 = x^2 + 600 \]
\[ 2 \times 2x^2 = x^2 + 600 \]
\[ 4x^2 = x^2 + 600 \]
\[ 3x^2 = 600 \]
\[ x^2 = 200 \]
\[ x = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \]

Chiều rộng của mảnh vườn sau khi mở rộng là:
\[ y = x\sqrt{2} = 10\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 20 \text{ mét} \]

Chiều dài của mảnh vườn sau khi mở rộng là:
\[ 2y = 2 \times 20 = 40 \text{ mét} \]

Diện tích của mảnh vườn sau khi mở rộng là:
\[ 40 \times 20 = 800 \text{ m}^2 \]

Để tính tổng số cọc tre cần dùng để rào xung quanh mảnh vườn, ta tính chu vi của mảnh vườn sau khi mở rộng:
\[ Chu vi = 2 \times (chiều dài + chiều rộng) = 2 \times (40 + 20) = 2 \times 60 = 120 \text{ mét} \]

Vì khoảng cách giữa hai cọc tre là 1 mét, nên số cọc tre cần dùng là:
\[ 120 + 1 = 121 \text{ cọc} \]

Vậy diện tích mảnh vườn sau khi mở rộng là 800 m² và tổng số cọc tre cần dùng để rào xung quanh là 121 cọc.