Để chứng minh rằng biểu thức \( P = 3x^2 + x(x - 4y) - 2x(6 - 2y) + 11x + 1 \) luôn nhận giá trị dương với mọi giá trị của \( x \), chúng ta sẽ đơn giản hóa biểu thức này và kiểm tra xem nó có luôn dương hay không.

Bắt đầu bằng cách phân tích và đơn giản hóa biểu thức:

\[ P = 3x^2 + x(x - 4y) - 2x(6 - 2y) + 11x + 1 \]

Ta phân tích từng phần:

\[ x(x - 4y) = x^2 - 4xy \]

\[ -2x(6 - 2y) = -12x + 4xy \]

Thay các kết quả này vào biểu thức ban đầu:

\[ P = 3x^2 + (x^2 - 4xy) + (-12x + 4xy) + 11x + 1 \]

Gộp các hạng tử lại:

\[ P = 3x^2 + x^2 - 4xy + 4xy - 12x + 11x + 1 \]

Nhận thấy rằng \( -4xy \) và \( 4xy \) triệt tiêu lẫn nhau:

\[ P = 3x^2 + x^2 - 12x + 11x + 1 \]

Gộp các hạng tử còn lại:

\[ P = 4x^2 - x + 1 \]

Bây giờ, ta cần chứng minh rằng biểu thức \( 4x^2 - x + 1 \) luôn nhận giá trị dương với mọi giá trị của \( x \).

Xét hàm số bậc hai \( f(x) = 4x^2 - x + 1 \). Để hàm số này luôn nhận giá trị dương, ta cần kiểm tra các điều kiện của nó.

Hàm số bậc hai \( ax^2 + bx + c \) có giá trị dương với mọi \( x \) nếu và chỉ nếu \( a > 0 \) và \( \Delta < 0 \), trong đó \( \Delta \) là biệt thức của tam thức bậc hai, được tính bởi công thức:

\[ \Delta = b^2 - 4ac \]

Ở đây, \( a = 4 \), \( b = -1 \), và \( c = 1 \). Tính \( \Delta \):

\[ \Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 \]
\[ \Delta = 1 - 16 \]
\[ \Delta = -15 \]

Vì \( \Delta < 0 \) và \( a = 4 > 0 \), nên tam thức bậc hai \( 4x^2 - x + 1 \) luôn nhận giá trị dương với mọi \( x \).

Do đó, biểu thức \( P = 4x^2 - x + 1 \) luôn nhận giá trị dương với mọi giá trị của \( x \).

Vậy, ta đã chứng minh được rằng biểu thức \( P = 3x^2 + x(x - 4y) - 2x(6 - 2y) + 11x + 1 \) luôn nhận giá trị dương với mọi giá trị của \( x \).