Để so sánh tổng \( S = \frac{1}{21} + \frac{1}{22} + \frac{1}{23} + \ldots + \frac{1}{60} \) với \(\frac{2}{3}\), ta có thể sử dụng một số phương pháp ước lượng.

### Phương pháp 1: Sử dụng tích phân để ước lượng tổng

Tổng các nghịch đảo của các số nguyên từ 21 đến 60 có thể được ước lượng bằng tích phân của hàm \( \frac{1}{x} \) từ 21 đến 60.

\[
\int_{21}^{60} \frac{1}{x} \, dx = \ln(60) - \ln(21) = \ln\left(\frac{60}{21}\right)
\]

Tính giá trị của \( \ln\left(\frac{60}{21}\right) \):

\[
\ln\left(\frac{60}{21}\right) = \ln(60) - \ln(21)
\]

Sử dụng giá trị gần đúng của logarit tự nhiên:

\[
\ln(60) \approx 4.094 \quad \text{và} \quad \ln(21) \approx 3.045
\]

\[
\ln\left(\frac{60}{21}\right) \approx 4.094 - 3.045 = 1.049
\]

### Phương pháp 2: Sử dụng bất đẳng thức tích phân

Ta biết rằng:

\[
\int_{n}^{n+1} \frac{1}{x} \, dx < \frac{1}{n} < \int_{n-1}^{n} \frac{1}{x} \, dx
\]

Áp dụng cho các số từ 21 đến 60:

\[
\int_{21}^{61} \frac{1}{x} \, dx < S < \int_{20}^{60} \frac{1}{x} \, dx
\]

Tính các tích phân:

\[
\int_{21}^{61} \frac{1}{x} \, dx = \ln(61) - \ln(21)
\]

\[
\int_{20}^{60} \frac{1}{x} \, dx = \ln(60) - \ln(20)
\]

Sử dụng giá trị gần đúng của logarit tự nhiên:

\[
\ln(61) \approx 4.111 \quad \text{và} \quad \ln(20) \approx 3.000
\]

\[
\ln(61) - \ln(21) \approx 4.111 - 3.045 = 1.066
\]

\[
\ln(60) - \ln(20) \approx 4.094 - 3.000 = 1.094
\]

Vậy:

\[
1.066 < S < 1.094
\]

### So sánh với \(\frac{2}{3}\)

\(\frac{2}{3} \approx 0.667\)

Rõ ràng là \( S \) nằm trong khoảng từ 1.066 đến 1.094, lớn hơn nhiều so với \(\frac{2}{3}\).

### Kết luận

\[
\frac{1}{21} + \frac{1}{22} + \frac{1}{23} + \ldots + \frac{1}{60} > \frac{2}{3}
\]