Để giải bài toán này, ta cần tìm hai số tự nhiên liên tiếp có tổng bằng 2014 và giữa hai số đó có 19 số tự nhiên khác nhau.

Gọi hai số tự nhiên liên tiếp là \( x \) và \( x+1 \).

Theo đề bài, ta có phương trình:
\[ x + (x + 1) = 2014 \]

Giải phương trình này:
\[ 2x + 1 = 2014 \]
\[ 2x = 2013 \]
\[ x = 1006.5 \]

Tuy nhiên, \( x \) phải là một số tự nhiên, nên không thể có giá trị là 1006.5. Do đó, có thể có một nhầm lẫn trong cách hiểu đề bài. Ta sẽ xem xét lại điều kiện "giữa hai số đó có 19 số tự nhiên khác nhau".

Nếu giữa hai số có 19 số tự nhiên khác nhau, thì khoảng cách giữa hai số đó là 21 (vì bao gồm cả hai số đầu và cuối).

Gọi hai số tự nhiên đó là \( a \) và \( b \) với \( a < b \) và \( b - a = 21 \).

Theo đề bài, tổng của hai số này là 2014:
\[ a + b = 2014 \]

Thay \( b = a + 21 \) vào phương trình trên:
\[ a + (a + 21) = 2014 \]
\[ 2a + 21 = 2014 \]
\[ 2a = 1993 \]
\[ a = 996.5 \]

Tương tự như trước, \( a \) phải là một số tự nhiên, nên không thể có giá trị là 996.5. Điều này cho thấy có thể có sự nhầm lẫn trong cách hiểu đề bài hoặc đề bài có thể không chính xác.

Tuy nhiên, nếu ta giả sử rằng đề bài có thể có lỗi và ta chỉ cần tìm hai số tự nhiên liên tiếp có tổng bằng 2014, thì ta có thể xem xét lại cách giải ban đầu:

\[ x + (x + 1) = 2014 \]
\[ 2x + 1 = 2014 \]
\[ 2x = 2013 \]
\[ x = 1006.5 \]

Vì không có số tự nhiên nào thỏa mãn điều kiện này, ta có thể kết luận rằng đề bài có thể có lỗi hoặc không có nghiệm thỏa mãn các điều kiện đã cho.