Để giải phương trình \( \frac{x-3}{x-1} = \frac{x-4}{x^2-4x} + \frac{x+1}{x} \), ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Phân tích các phân số:**
- \( \frac{x-3}{x-1} \)
- \( \frac{x-4}{x^2-4x} \)
- \( \frac{x+1}{x} \)

2. **Phân tích mẫu số:**
- \( x^2 - 4x = x(x-4) \)

3. **Viết lại phương trình:**
\[
\frac{x-3}{x-1} = \frac{x-4}{x(x-4)} + \frac{x+1}{x}
\]

4. **Đưa các phân số về cùng mẫu số:**
- Mẫu số chung là \( x(x-1)(x-4) \).

5. **Quy đồng mẫu số:**
\[
\frac{(x-3)x(x-4)}{x(x-1)(x-4)} = \frac{(x-4)(x-1)}{x(x-1)(x-4)} + \frac{(x+1)(x-1)(x-4)}{x(x-1)(x-4)}
\]

6. **Gộp các phân số:**
\[
\frac{(x-3)x(x-4)}{x(x-1)(x-4)} = \frac{(x-4)(x-1) + (x+1)(x-1)(x-4)}{x(x-1)(x-4)}
\]

7. **So sánh tử số:**
\[
(x-3)x(x-4) = (x-4)(x-1) + (x+1)(x-1)(x-4)
\]

8. **Mở rộng và đơn giản hóa các biểu thức:**
- Mở rộng vế trái:
\[
(x-3)x(x-4) = x(x^2 - 4x - 3x + 12) = x^3 - 7x^2 + 12x
\]

- Mở rộng vế phải:
\[
(x-4)(x-1) + (x+1)(x-1)(x-4)
\]
\[
= (x^2 - x - 4x + 4) + (x^3 - 4x^2 + x^2 - 4x - x + 4)
\]
\[
= (x^2 - 5x + 4) + (x^3 - 3x^2 - 5x + 4)
\]
\[
= x^3 - 2x^2 - 10x + 8
\]

9. **Đặt hai vế bằng nhau:**
\[
x^3 - 7x^2 + 12x = x^3 - 2x^2 - 10x + 8
\]

10. **Đưa tất cả các hạng tử về một vế:**
\[
x^3 - 7x^2 + 12x - x^3 + 2x^2 + 10x - 8 = 0
\]
\[
-5x^2 + 22x - 8 = 0
\]

11. **Giải phương trình bậc hai:**
\[
-5x^2 + 22x - 8 = 0
\]

Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \( ax^2 + bx + c = 0 \):
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Với \( a = -5 \), \( b = 22 \), \( c = -8 \):
\[
x = \frac{-22 \pm \sqrt{22^2 - 4(-5)(-8)}}{2(-5)}
\]
\[
x = \frac{-22 \pm \sqrt{484 - 160}}{-10}
\]
\[
x = \frac{-22 \pm \sqrt{324}}{-10}
\]
\[
x = \frac{-22 \pm 18}{-10}
\]

Tính hai nghiệm:
\[
x_1 = \frac{-22 + 18}{-10} = \frac{-4}{-10} = \frac{2}{5}
\]
\[
x_2 = \frac{-22 - 18}{-10} = \frac{-40}{-10} = 4
\]

12. **Kiểm tra nghiệm:**
- Với \( x = \frac{2}{5} \):
\[
\frac{\frac{2}{5} - 3}{\frac{2}{5} - 1} = \frac{\frac{2}{5} - 4}{(\frac{2}{5})^2 - 4(\frac{2}{5})} + \frac{\frac{2}{5} + 1}{\frac{2}{5}}
\]
Không hợp lý vì mẫu số bằng 0.

- Với \( x = 4 \):
\[
\frac{4-3}{4-1} = \frac{4-4}{4^2 - 4 \cdot 4} + \frac{4+1}{4}
\]
Không hợp lý vì mẫu số bằng 0.

Vậy phương trình không có nghiệm.