Để chứng minh bất đẳng thức \( \frac{a}{b} > 1 \) dẫn đến \( \frac{ab + 1}{b + 1} > \frac{a}{b} \), ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Giả thiết**: \( \frac{a}{b} > 1 \)
2. **Kết luận cần chứng minh**: \( \frac{ab + 1}{b + 1} > \frac{a}{b} \)

**Bước 1: Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh**

Ta cần chứng minh:
\[ \frac{ab + 1}{b + 1} > \frac{a}{b} \]

Nhân cả hai vế với \( b(b + 1) \) để khử mẫu:
\[ (ab + 1) \cdot b > a \cdot b \cdot (b + 1) \]

Khai triển và đơn giản hóa:
\[ ab^2 + b > ab^2 + ab \]

Rút gọn \( ab^2 \) ở cả hai vế:
\[ b > ab \]

**Bước 2: Sử dụng giả thiết**

Từ giả thiết \( \frac{a}{b} > 1 \), ta có:
\[ a > b \]

Thay vào bất đẳng thức \( b > ab \):
\[ b > b \cdot \frac{a}{b} \]

Do \( \frac{a}{b} > 1 \), nên \( b \cdot \frac{a}{b} = a \):
\[ b > a \]

Điều này mâu thuẫn với giả thiết \( a > b \). Do đó, ta cần kiểm tra lại các bước biến đổi.

**Bước 3: Xem xét lại biến đổi**

Thực hiện lại từ đầu:
\[ \frac{ab + 1}{b + 1} > \frac{a}{b} \]

Nhân cả hai vế với \( b(b + 1) \):
\[ (ab + 1) \cdot b > a \cdot b \cdot (b + 1) \]

Khai triển:
\[ ab^2 + b > ab^2 + ab \]

Rút gọn \( ab^2 \):
\[ b > ab \]

Từ \( a > b \), ta có \( ab > b^2 \), do đó \( b > ab \) là không đúng. Ta cần kiểm tra lại bất đẳng thức ban đầu.

**Bước 4: Phân tích lại bất đẳng thức**

Thực hiện lại từ đầu:
\[ \frac{ab + 1}{b + 1} > \frac{a}{b} \]

Nhân cả hai vế với \( b(b + 1) \):
\[ (ab + 1) \cdot b > a \cdot b \cdot (b + 1) \]

Khai triển:
\[ ab^2 + b > ab^2 + ab \]

Rút gọn \( ab^2 \):
\[ b > ab \]

Từ \( a > b \), ta có \( ab > b^2 \), do đó \( b > ab \) là không đúng. Ta cần kiểm tra lại bất đẳng thức ban đầu.

**Kết luận**: Bất đẳng thức \( \frac{ab + 1}{b + 1} > \frac{a}{b} \) không đúng với giả thiết \( \frac{a}{b} > 1 \).