Chúng ta sẽ giải lần lượt từng câu hỏi trong bài toán này.

1. **Tính giá trị của biểu thức A khi x = 2024:**

Biểu thức A được cho là:
\[ A = \frac{x - 2}{x - 1} \]

Thay \( x = 2024 \) vào biểu thức A:
\[ A = \frac{2024 - 2}{2024 - 1} = \frac{2022}{2023} \]

Vậy giá trị của biểu thức A khi \( x = 2024 \) là \( \frac{2022}{2023} \).

2. **Chứng minh rằng \( B = \frac{x - 1}{x + 1} \):**

Biểu thức B được cho là:
\[ B = \frac{x}{x - 1} - \frac{2x}{x^2 - 1} - \frac{1}{x + 1} \]

Ta biết rằng \( x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \), do đó:
\[ \frac{2x}{x^2 - 1} = \frac{2x}{(x - 1)(x + 1)} \]

Thay vào biểu thức B:
\[ B = \frac{x}{x - 1} - \frac{2x}{(x - 1)(x + 1)} - \frac{1}{x + 1} \]

Ta quy đồng mẫu số:
\[ B = \frac{x(x + 1) - 2x - (x - 1)}{(x - 1)(x + 1)} \]

Khai triển và rút gọn tử số:
\[ B = \frac{x^2 + x - 2x - x + 1}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{x^2 - 2x + 1}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{(x - 1)^2}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{x - 1}{x + 1} \]

Vậy ta đã chứng minh được rằng:
\[ B = \frac{x - 1}{x + 1} \]

3. **Tìm x biết \( A \cdot B = \frac{2}{3} \):**

Ta đã có:
\[ A = \frac{x - 2}{x - 1} \]
\[ B = \frac{x - 1}{x + 1} \]

Biết rằng \( A \cdot B = \frac{2}{3} \), ta có:
\[ \frac{x - 2}{x - 1} \cdot \frac{x - 1}{x + 1} = \frac{2}{3} \]

Rút gọn biểu thức:
\[ \frac{x - 2}{x + 1} = \frac{2}{3} \]

Giải phương trình này:
\[ 3(x - 2) = 2(x + 1) \]
\[ 3x - 6 = 2x + 2 \]
\[ 3x - 2x = 2 + 6 \]
\[ x = 8 \]

Vậy giá trị của \( x \) là \( x = 8 \).