Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 15 cm, AC = 20 cm, BC = 25 cm. Vẽ đường cao AH và đường phân giác AD của góc HAC. Tính DH và DC.

1. **Tính DH:**

Đầu tiên, ta tính độ dài AH. Trong tam giác vuông ABC, ta có thể sử dụng công thức tính đường cao AH từ đỉnh A xuống cạnh BC:

\[ AH = \frac{AB \cdot AC}{BC} \]

Thay các giá trị đã biết vào công thức:

\[ AH = \frac{15 \cdot 20}{25} = \frac{300}{25} = 12 \text{ cm} \]

Tiếp theo, ta tính DH. Trong tam giác vuông AHC, ta có:

\[ AH^2 = DH \cdot HC \]

Ta đã biết AH = 12 cm và BC = 25 cm. Vì tam giác ABC vuông tại A, ta có:

\[ HC = BC - BH \]

Ta cần tính BH. Trong tam giác vuông ABH, ta có:

\[ BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{225 - 144} = \sqrt{81} = 9 \text{ cm} \]

Do đó:

\[ HC = BC - BH = 25 - 9 = 16 \text{ cm} \]

Bây giờ, ta có thể tính DH:

\[ AH^2 = DH \cdot HC \]

\[ 12^2 = DH \cdot 16 \]

\[ 144 = DH \cdot 16 \]

\[ DH = \frac{144}{16} = 9 \text{ cm} \]

2. **Tính DC:**

Để tính DC, ta cần sử dụng tính chất của đường phân giác trong tam giác vuông. Đường phân giác AD của góc HAC chia cạnh đối diện BC thành hai đoạn tỉ lệ với các cạnh kề của góc HAC, tức là:

\[ \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{15}{20} = \frac{3}{4} \]

Gọi BD = x và DC = y. Ta có:

\[ x + y = BC = 25 \]

Và từ tỉ lệ trên:

\[ \frac{x}{y} = \frac{3}{4} \]

Giải hệ phương trình này:

\[ x = \frac{3}{4}y \]

Thay vào phương trình \( x + y = 25 \):

\[ \frac{3}{4}y + y = 25 \]

\[ \frac{7}{4}y = 25 \]

\[ y = \frac{25 \cdot 4}{7} = \frac{100}{7} \approx 14.29 \text{ cm} \]

Do đó, DC = \( \frac{100}{7} \approx 14.29 \text{ cm} \).

Tóm lại:
- DH = 9 cm
- DC ≈ 14.29 cm