Để tìm giá trị của \( x + y \) từ phương trình \( x^3 + y^3 + 4xy = x^2 + y^2 + 4 \), chúng ta có thể sử dụng một số phép biến đổi đại số.

Đầu tiên, ta nhớ lại một số hằng đẳng thức đáng nhớ:
\[ x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2) \]

Tuy nhiên, trong bài toán này, chúng ta cần tìm cách khác để đơn giản hóa phương trình. Ta thử đặt \( s = x + y \) và \( p = xy \). Khi đó, ta có:
\[ x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy = s^2 - 2p \]

Thay vào phương trình ban đầu:
\[ x^3 + y^3 + 4xy = x^2 + y^2 + 4 \]

Sử dụng hằng đẳng thức \( x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2) \):
\[ (x + y)(x^2 - xy + y^2) + 4xy = x^2 + y^2 + 4 \]

Thay \( x^2 + y^2 = s^2 - 2p \):
\[ s(s^2 - 3p) + 4p = s^2 - 2p + 4 \]

Mở rộng và sắp xếp lại:
\[ s^3 - 3sp + 4p = s^2 - 2p + 4 \]

Chuyển hết các hạng tử về một vế:
\[ s^3 - s^2 - 3sp + 6p - 4 = 0 \]

Để đơn giản hóa, ta thử một số giá trị của \( s \) (tức là \( x + y \)) để xem có giá trị nào thỏa mãn phương trình hay không.

Giả sử \( s = 2 \):
\[ 2^3 - 2^2 - 3 \cdot 2p + 6p - 4 = 0 \]
\[ 8 - 4 - 6p + 6p - 4 = 0 \]
\[ 0 = 0 \]

Điều này đúng, do đó \( s = 2 \) là một nghiệm của phương trình.

Vậy giá trị của \( x + y \) là \( \boxed{2} \).