Để tính độ dài cạnh BC của tam giác cân ABC tại A, ta có thể sử dụng các thông tin đã cho:

- AB + AC = 17 cm
- AB - AC = 7 cm

Gọi AB = x và AC = y. Ta có hệ phương trình:

1. \( x + y = 17 \)
2. \( x - y = 7 \)

Để giải hệ phương trình này, ta cộng hai phương trình lại với nhau:

\[ (x + y) + (x - y) = 17 + 7 \]
\[ 2x = 24 \]
\[ x = 12 \]

Sau đó, ta thay giá trị của \( x \) vào phương trình \( x + y = 17 \):

\[ 12 + y = 17 \]
\[ y = 5 \]

Vậy, ta có:
- AB = 12 cm
- AC = 5 cm

Vì tam giác ABC là tam giác cân tại A, nên BC là cạnh đáy của tam giác cân. Để tính độ dài BC, ta sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông tạo bởi đường cao từ A xuống BC (gọi là điểm D).

Trong tam giác vuông ABD (với D là trung điểm của BC), ta có:

\[ AD^2 + BD^2 = AB^2 \]

Vì D là trung điểm của BC, nên BD = DC = \(\frac{BC}{2}\).

Đặt BC = 2BD, ta có:

\[ AD^2 + BD^2 = AB^2 \]
\[ AD^2 + \left(\frac{BC}{2}\right)^2 = AB^2 \]

Đường cao AD trong tam giác cân có thể tính bằng công thức:

\[ AD = \sqrt{AB^2 - BD^2} \]

Thay các giá trị vào:

\[ AD = \sqrt{12^2 - 5^2} = \sqrt{144 - 25} = \sqrt{119} \]

Vậy:

\[ AD^2 + \left(\frac{BC}{2}\right)^2 = 12^2 \]
\[ 119 + \left(\frac{BC}{2}\right)^2 = 144 \]
\[ \left(\frac{BC}{2}\right)^2 = 25 \]
\[ \frac{BC}{2} = 5 \]
\[ BC = 10 \]

Vậy, độ dài cạnh BC của tam giác cân ABC là 10 cm.