Để giải các hệ phương trình sau, ta sẽ lần lượt giải từng hệ phương trình một.

### Hệ phương trình a:
\[
\begin{cases}
\frac{1}{x+1} - \frac{1}{y-2} = 8 \\
\frac{2}{x+1} + \frac{3}{y-2} = 1
\end{cases}
\]

### Hệ phương trình b:
\[
\begin{cases}
\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 1 \\
\frac{3}{x} + \frac{4}{y} = 5
\end{cases}
\]

### Hệ phương trình c:
\[
\begin{cases}
\frac{1}{x-2} - \frac{1}{y-1} = 2 \\
\frac{2}{x-2} + \frac{3}{y-1} = 1
\end{cases}
\]

### Bài 6:

### Hệ phương trình a:
\[
\begin{cases}
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1 \\
\frac{4}{x} - \frac{2}{y} = 1
\end{cases}
\]

### Hệ phương trình b:
\[
\begin{cases}
\frac{1}{3x} + \frac{1}{3y} = \frac{1}{4} \\
\frac{5}{6x} + \frac{1}{2y} = \frac{2}{3}
\end{cases}
\]

### Hệ phương trình c:
\[
\begin{cases}
\frac{4x + 5y}{xy} = 2 \\
20x - 30y + xy = 0
\end{cases}
\]

### Giải hệ phương trình a:
1. Nhân cả hai phương trình với mẫu số chung để loại bỏ mẫu:
\[
\begin{cases}
\frac{1}{x+1} - \frac{1}{y-2} = 8 \\
\frac{2}{x+1} + \frac{3}{y-2} = 1
\end{cases}
\]

Đặt \( u = \frac{1}{x+1} \) và \( v = \frac{1}{y-2} \), ta có:
\[
\begin{cases}
u - v = 8 \\
2u + 3v = 1
\end{cases}
\]

2. Giải hệ phương trình này:
\[
\begin{cases}
u - v = 8 \\
2u + 3v = 1
\end{cases}
\]

Từ phương trình đầu tiên, ta có \( u = v + 8 \). Thay vào phương trình thứ hai:
\[
2(v + 8) + 3v = 1 \\
2v + 16 + 3v = 1 \\
5v = -15 \\
v = -3
\]

Thay \( v = -3 \) vào \( u = v + 8 \):
\[
u = -3 + 8 = 5
\]

Vậy \( \frac{1}{x+1} = 5 \) và \( \frac{1}{y-2} = -3 \):
\[
x + 1 = \frac{1}{5} \Rightarrow x = \frac{1}{5} - 1 = -\frac{4}{5} \\
y - 2 = -\frac{1}{3} \Rightarrow y = 2 - \frac{1}{3} = \frac{5}{3}
\]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \( x = -\frac{4}{5} \) và \( y = \frac{5}{3} \).

### Giải hệ phương trình b:
1. Nhân cả hai phương trình với mẫu số chung để loại bỏ mẫu:
\[
\begin{cases}
\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 1 \\
\frac{3}{x} + \frac{4}{y} = 5
\end{cases}
\]

Đặt \( u = \frac{1}{x} \) và \( v = \frac{1}{y} \), ta có:
\[
\begin{cases}
u - v = 1 \\
3u + 4v = 5
\end{cases}
\]

2. Giải hệ phương trình này:
\[
\begin{cases}
u - v = 1 \\
3u + 4v = 5
\end{cases}
\]

Từ phương trình đầu tiên, ta có \( u = v + 1 \). Thay vào phương trình thứ hai:
\[
3(v + 1) + 4v = 5 \\
3v + 3 + 4v = 5 \\
7v = 2 \\
v = \frac{2}{7}
\]

Thay \( v = \frac{2}{7} \) vào \( u = v + 1 \):
\[
u = \frac{2}{7} + 1 = \frac{9}{7}
\]

Vậy \( \frac{1}{x} = \frac{9}{7} \) và \( \frac{1}{y} = \frac{2}{7} \):
\[
x = \frac{7}{9} \\
y = \frac{7}{2}
\]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \( x = \frac{7}{9} \) và \( y = \frac{7}{2} \).

### Giải hệ phương trình c:
1. Nhân cả hai phương trình với mẫu số chung để loại bỏ mẫu:
\[
\begin{cases}
\frac{1}{x-2} - \frac{1}{y-1} = 2 \\
\frac{2}{x-2} + \frac{3}{y-1} = 1
\end{cases}
\]

Đặt \( u = \frac{1}{x-2} \) và \( v = \frac{1}{y-1} \), ta có:
\[
\begin{cases}
u - v = 2 \\
2u + 3v = 1
\end{cases}
\]

2. Giải hệ phương trình này:
\[
\begin{cases}
u - v = 2 \\
2u + 3v = 1
\end{cases}
\]

Từ phương trình đầu tiên, ta có \( u = v + 2 \). Thay vào phương trình thứ hai:
\[
2(v + 2) + 3v = 1 \\
2v + 4 + 3v = 1 \\
5v = -3 \\
v = -\frac{3}{5}
\]

Thay \( v = -\frac{3}{5} \) vào \( u = v + 2 \):
\[
u = -\frac{3}{5} + 2 = \frac{7}{5}
\]

Vậy \( \frac{1}{x-2} = \frac{7}{5} \) và \( \frac{1}{y-1} = -\frac{3}{5} \):
\[
x - 2 = \frac{5}{7} \Rightarrow x = \frac{5}{7} + 2 = \frac{19}{7} \\
y - 1 = -\frac{5}{3} \Rightarrow y = 1 - \frac{5}{3} = -\frac{2}{3}
\]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \( x = \frac{19}{7} \) và \( y = -\frac{2}{3} \).

### Giải hệ phương trình bài 6:

### Hệ phương trình a:
\[
\begin{cases}
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1 \\
\frac{4}{x} - \frac{2}{y} = 1
\end{cases}
\]

Đặt \( u = \frac{1}{x} \) và \( v = \frac{1}{y} \), ta có:
\[
\begin{cases}
u + v = 1 \\
4u - 2v = 1
\end{cases}
\]

Giải hệ phương trình này:
\[
\begin{cases}
u + v = 1 \\
4u - 2v = 1
\end{cases}
\]

Từ phương trình đầu tiên, ta có \( v = 1 - u \). Thay vào phương trình thứ hai:
\[
4u - 2(1 - u) = 1 \\
4u - 2 + 2u = 1 \\
6u = 3 \\
u = \frac{1}{2}
\]

Thay \( u = \frac{1}{2} \) vào \( v = 1 - u \):
\[
v = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}
\]

Vậy \( \frac{1}{x} = \frac{1}{2} \) và \( \frac{1}{y} = \frac{1}{2} \):
\[
x = 2 \\
y = 2
\]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \( x = 2 \) và \( y = 2 \).

### Hệ phương trình b:
\[
\begin{cases}
\frac{1}{3x} + \frac{1}{3y} = \frac{1}{4} \\
\frac{5}{6x} + \frac{1}{2y} = \frac{2}{3}
\end{cases}
\]

Đặt \( u = \frac{1}{x} \) và \( v = \frac{1}{y} \), ta có:
\[
\begin{cases}
\frac{u}{3} + \frac{v}{3} = \frac{1}{4} \\
\frac{5u}{6} + \frac{v}{2} = \frac{2}{3}
\end{cases}
\]

Nhân cả hai phương trình với mẫu số chung để loại bỏ mẫu:
\[
\begin{cases}
u + v = \frac{3}{4} \\
5u + 3v = 4
\end{cases}
\]

Giải hệ phương trình này:
\[
\begin{cases}
u + v = \frac{3}{4} \\
5u + 3v = 4
\end{cases}
\]

Từ phương trình đầu tiên, ta có \( v = \frac{3}{4} - u \). Thay vào phương trình thứ hai:
\[
5u + 3(\frac{3}{4} - u) = 4 \\
5u + \frac{9}{4} - 3u = 4 \\
2u + \frac{9}{4} = 4 \\
2u = 4 - \frac{9}{4} \\
2u = \frac{16}{4} - \frac{9}{4} \\
2u = \frac{7}{4} \\
u = \frac{7}{8}
\]

Thay \( u = \frac{7}{8} \) vào \( v = \frac{3}{4} - u \):
\[
v = \frac{3}{4} - \frac{7}{8} = \frac{6}{8} - \frac{7}{8} = -\frac{1}{8}
\]

Vậy \( \frac{1}{x} = \frac{7}{8} \) và \( \frac{1}{y} = -\frac{1}{8} \):
\[
x = \frac{8}{7} \\
y = -8
\]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \( x = \frac{8}{7} \) và \( y = -8 \).

### Hệ phương trình c:
\[
\begin{cases}
\frac{4x + 5y}{xy} = 2 \\
20x - 30y + xy = 0
\end{cases}
\]

Đặt \( u = \frac{1}{x} \) và \( v = \frac{1}{y} \), ta có:
\[
\begin{cases}
4u + 5v = 2 \\
20u - 30v + 1 = 0
\end{cases}
\]

Giải hệ phương trình này:
\[
\begin{cases}
4u + 5v = 2 \\
20u - 30v = -1
\end{cases}
\]

Nhân phương trình đầu tiên với 5 và phương trình thứ hai với 1:
\[
\begin{cases}
20u + 25v = 10 \\
20u - 30v = -1
\end{cases}
\]

Trừ phương trình thứ hai từ phương trình đầu tiên:
\[
20u + 25v - (20u - 30v) = 10 - (-1) \\
55v = 11 \\
v = \frac{1}{5}
\]

Thay \( v = \frac{1}{5} \) vào \( 4u + 5v = 2 \):
\[
4u + 5(\frac{1}{5}) = 2 \\
4u + 1 = 2 \\
4u = 1 \\
u = \frac{1}{4}
\]

Vậy \( \frac{1}{x} = \frac{1}{4} \) và \( \frac{1}{y} = \frac{1}{5} \):
\[
x = 4 \\
y = 5
\]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \( x = 4 \) và \( y = 5 \).