Để chứng minh rằng với mọi \( x, y \) ta luôn có:

\[
(xy+1)(x^2y - xy + 1) + (x^3 - 1)(1 - y^3) = x^3 + y^3,
\]

ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Mở rộng biểu thức bên trái**:

- Tính \((xy + 1)(x^2y - xy + 1)\):
\[
= xy(x^2y) - xy(xy) + xy(1) + 1(x^2y) - 1(xy) + 1(1)
= x^3y^2 - x^2y^2 + xy + x^2y - xy + 1
= x^3y^2 - x^2y^2 + x^2y + 1.
\]

- Tính \((x^3 - 1)(1 - y^3)\):
\[
= x^3(1) - x^3(y^3) - 1(1) + 1(y^3)
= x^3 - x^3y^3 - 1 + y^3.
\]

2. **Cộng hai biểu thức lại**:
\[
(x^3y^2 - x^2y^2 + x^2y + 1) + (x^3 - x^3y^3 - 1 + y^3).
\]

- Kết hợp các hạng tử:
\[
= x^3y^2 - x^2y^2 + x^2y + x^3 - x^3y^3 + y^3.
\]

3. **Sắp xếp lại**:
- Nhóm các hạng tử liên quan đến \( x^3 \) và \( y^3 \):
\[
= x^3(1 - y^3) + y^3 + x^2y - x^2y^2 + x^3y^2.
\]

4. **Chứng minh rằng biểu thức này bằng \( x^3 + y^3 \)**:
- Sử dụng công thức \( x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2) \) và các phép biến đổi đại số để chứng minh rằng hai bên bằng nhau.

Cuối cùng, ta có thể kết luận rằng:

\[
(xy + 1)(x^2y - xy + 1) + (x^3 - 1)(1 - y^3) = x^3 + y^3
\]

đúng với mọi \( x, y \).