Để chứng minh rằng biểu thức \( 8^{10} - 8^9 - 8^8 \) chia hết cho \( 55 \), ta sẽ xác định giá trị của biểu thức này modulo 5 và modulo 11, rồi sử dụng định lý đồng dư Trung Quốc.

**Bước 1: Tính modulo 5**

Trước tiên, ta tính \( 8 \mod 5 \):

\[
8 \equiv 3 \mod 5
\]

Do đó, ta có:

\[
8^{10} \mod 5 \equiv 3^{10} \mod 5
\]
\[
8^9 \mod 5 \equiv 3^9 \mod 5
\]
\[
8^8 \mod 5 \equiv 3^8 \mod 5
\]

Chúng ta tính các lũy thừa:

\[
3^1 \equiv 3 \mod 5
\]
\[
3^2 \equiv 4 \mod 5
\]
\[
3^3 \equiv 2 \mod 5
\]
\[
3^4 \equiv 1 \mod 5
\]

Sạch sẽ thấy rằng \( 3^4 \equiv 1 \) và bây giờ ta tính:

\[
3^{10} = (3^4)^2 \cdot 3^2 \equiv 1^2 \cdot 4 \equiv 4 \mod 5
\]
\[
3^9 = (3^4)^2 \cdot 3 \equiv 1^2 \cdot 3 \equiv 3 \mod 5
\]
\[
3^8 = (3^4)^2 \equiv 1^2 \equiv 1 \mod 5
\]

Bây giờ, ta thay vào biểu thức:

\[
8^{10} - 8^9 - 8^8 \equiv 4 - 3 - 1 \mod 5
\]
\[
\equiv 0 \mod 5
\]

**Bước 2: Tính modulo 11**

Tiếp theo, tính \( 8 \mod 11 \):

\[
8 \equiv 8 \mod 11
\]

Chúng ta tiến hành một số lũy thừa:

\[
8^{10} \mod 11 \text{ (sử dụng định lý Fermat)}:
\]
Do \( 11 \) là số nguyên tố, \( 8^{10} \equiv 1 \mod 11 \).

Tương tự, vì \( 8^{10} \equiv 1 \):

\[
8^9 \equiv 8^{-1} \mod 11
\]
Lịch sử phép nối:

Tính \( 8^{-1} \mod 11 \):

Ta tìm số \( x \) sao cho:

\[
8x \equiv 1 \mod 11
\]

Thử \( x=7 \):

\[
8 \cdot 7 = 56 \equiv 1 \mod 11 \Rightarrow 8^{-1} \equiv 7 \mod 11
\]

Vậy

\[
8^9 \equiv 7 \mod 11
\]
\[
8^8 \equiv 8 \cdot 8^{-1} \equiv 8 \cdot 7 \equiv 5 \mod 11
\]

Giờ thay vào biểu thức:

\[
8^{10} - 8^9 - 8^8 \equiv 1 - 7 - 5 \mod 11
\]
\[
\equiv 1 - 12 \equiv -11 \equiv 0 \mod 11
\]

**Kết luận:**

Chúng ta đã có:

\[
8^{10} - 8^9 - 8^8 \equiv 0 \mod 5
\]
\[
8^{10} - 8^9 - 8^8 \equiv 0 \mod 11
\]

Vì \( 55 = 5 \cdot 11 \), theo định lý đồng dư Trung Quốc, ta có:

\[
8^{10} - 8^9 - 8^8 \equiv 0 \mod 55
\]

Vậy \( 8^{10} - 8^9 - 8^8 \) chia hết cho 55.