Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(C = x^2 + y^2 - x + 6y + 10\), chúng ta có thể thực hiện việc hoàn thành phương trình bậc hai đối với các biến \(x\) và \(y\).

**Bước 1: Hoàn thành phương trình bậc hai với biến \(x\)**

Biểu thức đối với \(x\):
\[
x^2 - x = \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4}
\]

**Bước 2: Hoàn thành phương trình bậc hai với biến \(y\)**

Biểu thức đối với \(y\):
\[
y^2 + 6y = \left(y + 3\right)^2 - 9
\]

**Bước 3: Thay các biểu thức đã hoàn thành vào trong \(C\)**

Thay vào \(C\), ta có:
\[
C = \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4} + \left(y + 3\right)^2 - 9 + 10
\]
\[
C = \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \left(y + 3\right)^2 - \frac{1}{4} + 1
\]
\[
C = \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \left(y + 3\right)^2 + \frac{3}{4}
\]

**Bước 4: Xác định giá trị nhỏ nhất**

Biểu thức \(\left(x - \frac{1}{2}\right)^2\) và \(\left(y + 3\right)^2\) đều không âm và đạt giá trị bằng 0 khi:
\[
x = \frac{1}{2}, \quad y = -3
\]

Thay các giá trị này vào sẽ cho:
\[
C_{\text{min}} = 0 + 0 + \frac{3}{4} = \frac{3}{4}
\]

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(C\) là \(\frac{3}{4}\) và đạt được khi \(x = \frac{1}{2}\) và \(y = -3\).