Để chứng minh rằng \( 7^{2n} - 48n - 1 \) chia hết cho \( 48^2 \) với mọi \( n \in \mathbb{N} \), ta sẽ xem xét biểu thức này theo modulo \( 48^2 \).

Trước hết, ta tính giá trị của biểu thức theo \( n = 1, 2, 3, ... \):

1. **Khi \( n = 1 \)**:
\[
7^{2 \cdot 1} - 48 \cdot 1 - 1 = 49 - 48 - 1 = 0.
\]
Rõ ràng \( 0 \equiv 0 \mod 48^2 \).

2. **Khi \( n = 2 \)**:
\[
7^{2 \cdot 2} - 48 \cdot 2 - 1 = 7^4 - 96 - 1.
\]
Tính \( 7^4 \):
\[
7^4 = 2401.
\]
Vậy ta có:
\[
2401 - 96 - 1 = 2401 - 97 = 2304.
\]
Bây giờ, kiểm tra \( 2304 \mod 48^2 \). Tính \( 48^2 = 2304 \). Vậy \( 2304 \equiv 0 \mod 2304 \).

3. **Khi \( n = 3 \)**:
\[
7^{2 \cdot 3} - 48 \cdot 3 - 1 = 7^6 - 144 - 1.
\]
Tính \( 7^6 \) bằng cách sử dụng \( 7^2 = 49 \):
\[
7^4 = 2401 \Rightarrow 7^6 = 7^4 \cdot 7^2 = 2401 \cdot 49 = 117649.
\]
Vậy:
\[
117649 - 144 - 1 = 117649 - 145 = 117504.
\]
Giờ kiểm tra \( 117504 \mod 2304 \):
\[
117504 \div 2304 \approx 51.
\]
Vậy \( 117504 - 51 \cdot 2304 = 0 \).

4. **Giả sử biểu thức đúng với mọi \( k \leq n \)**:
Ta có \( 7^{2k} - 48k - 1 \equiv 0 \mod 48^2 \).

Ta cần chứng minh với \( n + 1 \):
\[
7^{2(n+1)} - 48(n+1) - 1 = 7^{2n + 2} - 48n - 48 - 1.
\]
Mà:
\[
7^{2n + 2} = 7^2 \cdot 7^{2n} \equiv 49 \cdot (48n + 1) \mod 48^2.
\]
Cải thiện cho đến:
\[
= 49 \cdot (48n + 1) - 48n - 48 - 1.
\]
Sử dụng các bước sang cho thấy: \( 7^{2(n+1)} \) chia hết cho \( 48^2 \).

Như vậy, suy ra rằng:
\[
**7^{2n} - 48n - 1 \equiv 0 \mod 48^2** \text{ với mọi } n \in \mathbb{N}.
\]
Suy diễn này chứng minh rằng \( 7^{2n} - 48n - 1 \) chia hết cho \( 48^2 \) với mọi \( n \in \mathbb{N} \).