Để chứng minh rằng hai số tự nhiên \( a \) và \( b \) là nguyên tố cùng nhau, nghĩa là ước số chung lớn nhất (ƯSCĐ) của hai số này bằng 1, chúng ta sẽ xem xét từng trường hợp.

### Bài 2a: Chứng minh rằng \( 2n + 1 \) và \( 9n + 4 \) là nguyên tố cùng nhau với mọi số tự nhiên \( n \).

Giả sử rằng \( d \) là ước số chung của \( 2n + 1 \) và \( 9n + 4 \). Ta có:

\[
d \mid (2n + 1) \quad \text{(1)}
\]
\[
d \mid (9n + 4) \quad \text{(2)}
\]

Từ (1), ta có \( 2n + 1 = d \cdot k_1 \) cho một số nguyên \( k_1 \). Từ (2), ta có \( 9n + 4 = d \cdot k_2 \) cho một số nguyên \( k_2 \).

Bây giờ, ta sẽ tính \( 9n + 4 - 4(2n + 1) \):

\[
9n + 4 - 4(2n + 1) = 9n + 4 - 8n - 4 = n
\]

Như vậy, ta có:

\[
d \mid n \quad \text{(3)}
\]

Giờ ta sẽ xem xét \( n \) theo hai trường hợp:

1. Nếu \( n = 0 \), thì \( d \mid (2 \cdot 0 + 1) = 1 \) và \( d \) không có ước số nào khác ngoài 1.
2. Nếu \( n \) là một số tự nhiên dương (n ≥ 1), thì từ (3) ta thấy \( d \) chính là ước số chung của \( 2n + 1 \) và \( n \). Tiếp theo, vì \( 2n + 1 \) là số lẻ (và lớn hơn 1) nên \( d \) sẽ không thể là số lớn hơn 1, vậy \( d \) chỉ có thể là 1.

Do đó, \( \gcd(2n + 1, 9n + 4) = 1 \) với mọi \( n \). Vậy \( 2n + 1 \) và \( 9n + 4 \) là nguyên tố cùng nhau.

### Bài 2b: Chứng minh rằng hai số lẻ liên tiếp là nguyên tố cùng nhau.

Gọi hai số lẻ liên tiếp là \( a \) và \( a + 2 \) (vì hai số lẻ liên tiếp có dạng này). Chúng ta cần chứng minh rằng \( \gcd(a, a + 2) = 1 \).

Giả sử \( d \) là ước số chung lớn nhất của \( a \) và \( a + 2 \):

\[
d \mid a \quad \text{và} \quad d \mid (a + 2)
\]

Từ đó, ta có:

\[
d \mid ((a + 2) - a) = 2
\]

Vì \( d \) là ước số chung của hai số lẻ, nên \( d \) không thể chia hết cho 2 (bởi tất cả các ước số của một số lẻ đều là số lẻ). Do đó, ước số chung lớn nhất \( d \) chỉ có thể là 1.

Vậy, \( \gcd(a, a + 2) = 1 \), và do đó, hai số lẻ liên tiếp \( a \) và \( a + 2 \) là nguyên tố cùng nhau.

### Kết luận:

- Đối với bài 2a, ta chứng minh rằng \( 2n + 1 \) và \( 9n + 4 \) là nguyên tố cùng nhau với mọi số tự nhiên \( n \).
- Đối với bài 2b, ta chứng minh rằng hai số lẻ liên tiếp là nguyên tố cùng nhau.