Để giải các bất phương trình này, ta cần làm những bước chi tiết như sau:

### Bài a)
\[ \frac{2x + 7}{1 - 3x} \geq 0 \]

Để biểu thức phân số này không âm và lớn hơn hoặc bằng 0, ta cần xét hai trường hợp:

1. Cả tử số và mẫu số đều không âm hoặc đều âm.
- \( 2x + 7 \geq 0 \Rightarrow x \geq -\frac{7}{2} \)
- \( 1 - 3x > 0 \Rightarrow x < \frac{1}{3} \)
- \( 2x + 7 \leq 0 \Rightarrow x \leq -\frac{7}{2} \)
- \( 1 - 3x < 0 \Rightarrow x > \frac{1}{3} \)

Do đó:
\[ -\frac{7}{2} \leq x < \frac{1}{3} \]

### Bài b)
\[ \frac{1 - x}{2x + 5} \leq 0 \]

Để biểu thức phân số này không dương và nhỏ hơn hoặc bằng 0, ta cần xét hai trường hợp:

1. Tử số không dương và mẫu số dương hoặc tử số dương và mẫu số không dương.
- \( 1 - x \leq 0 \Rightarrow x \geq 1 \)
- \( 2x + 5 > 0 \Rightarrow x > -\frac{5}{2} \)
- \( 1 - x \geq 0 \Rightarrow x \leq 1 \)
- \( 2x + 5 < 0 \Rightarrow x < -\frac{5}{2} \)

Do đó:
\[ -\frac{5}{2} < x \leq 1 \]

### Bài c)
\[ \frac{2x - 1}{2 - 3x} > \frac{1}{2} \]

Để giải bất phương trình này, ta trừ \( \frac{1}{2} \) từ cả hai vế:
\[ \frac{2x - 1}{2 - 3x} - \frac{1}{2} > 0 \Rightarrow \frac{2(2x - 1) - (2 - 3x)}{2(2 - 3x)} > 0 \Rightarrow \frac{4x - 2 - 2 + 3x}{4 - 6x} > 0 \Rightarrow \frac{7x - 4}{4 - 6x} > 0 \]

Chia trường hợp để xét tử và mẫu phân số:
- \( 7x - 4 > 0 \Rightarrow x > \frac{4}{7} \)
- \( 4 - 6x > 0 \Rightarrow x < \frac{2}{3} \)

Do đó:
\[ \frac{4}{7} < x < \frac{2}{3} \]

### Bài d)
\[ \frac{4x + 1}{3 - 2x} \geq \frac{4}{3} \]

Để giải bất phương trình này, ta trừ \( \frac{4}{3} \) từ cả hai vế:
\[ \frac{4x + 1}{3 - 2x} - \frac{4}{3} \geq 0 \Rightarrow \frac{3(4x + 1) - 4(3 - 2x)}{3(3 - 2x)} \geq 0 \Rightarrow \frac{12x + 3 - 12 + 8x}{9 - 6x} \geq 0 \Rightarrow \frac{20x - 9}{9 - 6x} \geq 0 \]

Chia trường hợp để xét tử và mẫu phân số:
- \( 20x - 9 \geq 0 \Rightarrow x \geq \frac{9}{20} \)
- \( 9 - 6x > 0 \Rightarrow x < \frac{3}{2} \)

Do đó:
\[ \frac{9}{20} \leq x < \frac{3}{2} \]

Tóm lại, các nghiệm của các bất phương trình là:
\[ a) -\frac{7}{2} \leq x < \frac{1}{3} \]
\[ b) -\frac{5}{2} < x \leq 1 \]
\[ c) \frac{4}{7} < x < \frac{2}{3} \]
\[ d) \frac{9}{20} \leq x < \frac{3}{2} \]