Để tìm số tự nhiên \( x \) cho các phương trình đã cho, chúng ta sẽ giải từng phương trình một cách tuần tự.

### Phương trình a) \( x^{10} = x^8 \)
Ta có:

\[ x^{10} = x^8 \]

Chia cả hai vế cho \( x^8 \) (với giả thiết \( x \neq 0 \)), ta được:

\[ x^{10-8} = 1 \]
\[ x^2 = 1 \]

Do đó, \( x = 1 \) hoặc \( x = -1 \). Tuy nhiên, vì \( x \) là số tự nhiên, nên \( x = 1 \).

Vậy, nghiệm cho phương trình a là:
\[ x = 1 \]

### Phương trình b) \( x^{10} = 9x^8 \)
Ta có:

\[ x^{10} = 9x^8 \]

Chia cả hai vế cho \( x^8 \) (với giả thiết \( x \neq 0 \)), ta được:

\[ x^{10-8} = 9 \]
\[ x^2 = 9 \]

Do đó, \( x = 3 \) hoặc \( x = -3 \). Tuy nhiên, vì \( x \) là số tự nhiên, nên \( x = 3 \).

Vậy, nghiệm cho phương trình b là:
\[ x = 3 \]

### Phương trình c) \( (x-1)^4 = (x-1)^3 \)
Ta có:

\[ (x-1)^4 = (x-1)^3 \]

Chia cả hai vế cho \( (x-1)^3 \) (với giả thiết \( x \neq 1 \)), ta được:

\[ (x-1)^{4-3} = 1 \]
\[ x-1 = 1 \]

Do đó,

\[ x = 2 \]

Ngoài ra, nếu \( x = 1 \), cả hai vế của phương trình đều bằng 0, nên \( x = 1 \) cũng là nghiệm của phương trình.

Vậy, nghiệm cho phương trình c là:
\[ x = 1 \quad \text{hoặc} \quad x = 2 \]

Tóm lại, các nghiệm của từng phương trình là:
a) \( x = 1 \)
b) \( x = 3 \)
c) \( x = 1 \) hoặc \( x = 2 \)