Cho tam giác ABC vuông tại A, ta có các yếu tố sau:
- Góc \( \angle C = 30^\circ \)
- \( AC = 4 \) cm

Để tính các cạnh còn lại, ta bắt đầu bằng việc sử dụng các tính chất trong tam giác vuông và các hệ thức lượng trong tam giác vuông.

1. **Tính \( AB \) (cạnh kề của góc \( \angle C = 30^\circ \)):**

\[ \cos(\angle C) = \frac{AC}{BC} \]

Vì góc \( C = 30^\circ \), ta có:

\[ \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Do đó:

\[ \cos(30^\circ) = \frac{AC}{AB} \]
\[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{4}{AB} \]
\[ AB = \frac{4}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{4 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{8}{\sqrt{3}} \]

Rationalizing the denominator:

\[ AB = \frac{8\sqrt{3}}{3} \]

2. **Tính \( BC \) (cạnh huyền của tam giác vuông \( \angle BAC \))**

\[ \sin(30^\circ) = \frac{AC}{BC} \]

Vì góc \( C = 30^\circ \), ta có:

\[ \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \]

Do đó:

\[ \sin(30^\circ) = \frac{4}{BC} \]
\[ \frac{1}{2} = \frac{4}{BC} \]
\[ BC = 4 \times 2 = 8 \, \text{cm} \]

3. **Tính đường cao \( AH \) từ \( A \) tới \( BC \):**

Trong tam giác vuông, đường cao \( AH \) ứng với cạnh huyền được tính theo công thức:

\[ AH = \frac{AB \times AC}{BC} \]

Substitute \( AB = \frac{8\sqrt{3}}{3} \), \( AC = 4 \), and \( BC = 8 \):

\[ AH = \frac{\frac{8\sqrt{3}}{3} \times 4}{8} \]
\[ AH = \frac{32\sqrt{3}}{24} \]
\[ AH = \frac{4\sqrt{3}}{3} \, \text{cm} \]

Tóm lại, các kết quả là:
\[ AB = \frac{8\sqrt{3}}{3} \, \text{cm} \]
\[ BC = 8 \, \text{cm} \]
\[ AH = \frac{4\sqrt{3}}{3} \, \text{cm} \]