Để chứng minh các phát biểu trong bài toán, ta sẽ xem xét từng trường hợp một.

1) **Chứng minh: \(2x + 6y\) chia hết cho 2.**

Ta có:
\[
2x + 6y = 2(x + 3y).
\]
Bởi vì \(x\) và \(y\) là số tự nhiên, \(x + 3y\) cũng là số tự nhiên. Do đó, \(2x + 6y\) chia hết cho 2.

2) **Chứng minh: \(3x + 12y\) chia hết cho 3.**

Ta có:
\[
3x + 12y = 3(x + 4y).
\]
\(x + 4y\) cũng là số tự nhiên, do đó \(3x + 12y\) chia hết cho 3.

3) **Chứng minh: \(5x + 10y\) chia hết cho 5.**

Ta có:
\[
5x + 10y = 5(x + 2y).
\]
\(x + 2y\) cũng là số tự nhiên, nên \(5x + 10y\) chia hết cho 5.

4) **Chứng minh: \(9x + 27y\) chia hết cho 9.**

Ta có:
\[
9x + 27y = 9(x + 3y).
\]
\(x + 3y\) là số tự nhiên, do đó \(9x + 27y\) chia hết cho 9.

5) **Chứng minh: \(2x + 4y + 1\) không chia hết cho 2.**

Ta thấy:
\[
2x + 4y\) là số chẵn (vì nó là bội của 2), và khi cộng thêm 1 (số lẻ), kết quả \(2x + 4y + 1\) sẽ là số lẻ, do đó không chia hết cho 2.

6) **Chứng minh: \(6x + 15y + 2\) không chia hết cho 3.**

Ta có:
\[
6x + 15y\) chia hết cho 3 (bởi vì hàm bội số của 3), nhưng cộng thêm 2 (số không chia hết cho 3), do đó \(6x + 15y + 2\) không chia hết cho 3.

7) **Chứng minh: \(5x + 15y + 3\) không chia hết cho 5.**

Ta thấy:
\[
5x + 15y\) chia hết cho 5, nhưng khi cộng thêm 3 (không chia hết cho 5), do đó \(5x + 15y + 3\) không chia hết cho 5.

8) **Chứng minh: \(27x + 18y + 5\) không chia hết cho 9.**

Ta thấy:
\[
27x + 18y\) chia hết cho 9, nhưng khi cộng thêm 5 (không chia hết cho 9), kết quả \(27x + 18y + 5\) không chia hết cho 9.

Tóm lại, các phát biểu trên đều được chứng minh đúng trong trường hợp xét.