Chứng minh rằng

Để chứng minh các biểu thức trong bài tập, ta sẽ phân tích từng phần một.

### a) \( M = 2x^3 + 3x^2y^4 + 2x^3 - \frac{3}{2}x^2y^4 - 4x^3 \)

**Giải:**
1. Kết hợp các hạng tử giống nhau:
\[
M = (2x^3 + 2x^3 - 4x^3) + (3x^2y^4 - \frac{3}{2}x^2y^4)
\]
\[
= 0x^3 + \left(3 - \frac{3}{2}\right)x^2y^4 = \frac{3}{2}x^2y^4
\]
2. Ta thấy \(M = \frac{3}{2}x^2y^4 \geq 0\) với mọi \(x, y\).

### b) \( N = 2x^2 - 6x + x^2 + 5x + 3 + x \)

**Giải:**
1. Kết hợp các hạng tử:
\[
N = (2x^2 + x^2) + (-6x + 5x + x) + 3 = 3x^2 - 6x + 3
\]
2. Đặt \(N\) thành dạng hoàn thành bình phương:
\[
N = 3(x^2 - 2x + 1) = 3(x - 1)^2 \geq 0
\]
Vì \((x - 1)^2 \geq 0\), nên \(N\) luôn dương.

### c) \( P = -12x^4 - 16x^3 + 8x + 7x - 13 + 9x - 8x^3 \)

**Giải:**
1. Kết hợp các hạng tử:
\[
P = -12x^4 + (-16 - 8)x^3 + (8 + 7 + 9)x - 13
\]
\[
= -12x^4 - 24x^3 + 24x - 13
\]
2. Để kiểm tra tính âm của \(P\), ta xét cá hạng tử:
- Đặc biệt là bậc cao nhất \(-12x^4\), sẽ chi phối biểu thức khi \(x\) đủ lớn.
- \(P\) có dạng của một đa thức bậc chẵn với hệ số âm, nên \(P < 0\) với mọi \(x\).

### Kết luận:
- \(M\) luôn dương với mọi \(x, y\).
- \(N\) luôn dương với mọi \(x\).
- \(P\) luôn âm với mọi \(x\).

Như vậy, các điều kiện yêu cầu đã được chứng minh.