Để chứng minh hai phần của bài toán, ta tiến hành như sau:

**a) Chứng minh \( IM = IN \)**

1. Gọi \( M \) là trung điểm của \( AB \) và \( N \) là trung điểm của \( AC \). Vì \( AB = AC \) nên \( AM = MB \) và \( AN = NC \).
2. Xét tam giác vuông \( AMI \) và tam giác vuông \( ANI \).
- Trong tam giác \( AMI \), có đường cao \( MI \) tại \( M \).
- Trong tam giác \( ANI \), có đường cao \( NI \) tại \( N \).

3. Do \( AM = AN \) và \( AB = AC \) nên hai tam giác vuông \( AMI \) và \( ANI \) có hai cạnh góc vuông tương ứng bằng nhau và cạnh huyền ( \( AI \)) cũng bằng nhau (cùng bằng độ dài đường thẳng từ điểm \( A \) đến điểm \( I \)).

4. Suy ra \( IM = IN \) theo định lý Pitago trong các tam giác vuông.

**b) Chứng minh \( AI \) là tia phân giác của góc \( A \)**

1. Xét góc \( \angle A \) và sử dụng tính đối xứng của tam giác \( ABC \).
2. Ta có \( AM = AN \) (do xét ở phần a) và \( IM = IN \).
3. Khi đó, trong các tam giác \( AIM \) và \( AIN \), ta có:
- \( AM = AN \)
- \( IM = IN \)
- \( AI \) chung.

4. Do đó, theo tiêu chí cạnh-góc-cạnh (c.g.c), ta suy ra \( \triangle AIM \cong \triangle AIN \).
5. Từ đó, góc \( \angle AIB = \angle AIC \), chứng tỏ rằng \( AI \) chia đôi góc \( A \).

Vậy \( AI \) là tia phân giác của góc \( A \).