Để hàm số \( g(x) = f(|x|) \) có ba điểm cực trị, trước tiên chúng ta cần phân tích đạo hàm \( f'(x) \) mà đã cho.

Hàm số \( f'(x) = (x + 1)(x + 2)(x^2 - 2x - 5m) \) là một đa thức bậc 4. Số lượng điểm cực trị của hàm số \( f(x) \) phụ thuộc vào số nghiệm của phương trình:

\[
f'(x) = 0
\]

Để \( g(x) \) có ba điểm cực trị, điều này chỉ xảy ra nếu:

1. Hàm số \( f(x) \) có 4 nghiệm (điểm cực trị), hoặc
2. Hàm số \( f(x) \) có 2 nghiệm (tương ứng với 3 điểm cực trị cho \( g(x) \)).

### Bước 1: Phân tích số nghiệm của \( f'(x) = 0 \)

Hàm \( f'(x) \) sẽ có 0 nếu một trong các nhân tử bằng 0:

1. \( x + 1 = 0 \) \( \Rightarrow x = -1 \)
2. \( x + 2 = 0 \) \( \Rightarrow x = -2 \)
3. \( x^2 - 2x - 5m = 0 \)

Để phương trình \( x^2 - 2x - 5m = 0 \) có nghiệm, nghiệm được tính từ công thức nghiệm:

\[
D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5m) = 4 + 20m = 4(1 + 5m)
\]

Phương trình có nghiệm khi \( D \geq 0 \), hay tương đương:

\[
1 + 5m \geq 0 \Rightarrow m \geq -\frac{1}{5}
\]

### Bước 2: Để có 4 nghiệm

Để phương trình \( f'(x) = 0 \) có 4 nghiệm, \( D \) phải dương:

\[
4(1 + 5m) > 0 \Rightarrow 1 + 5m > 0 \Rightarrow m > -\frac{1}{5}
\]

### Bước 3: Tìm giá trị nguyên của \( m \)

Ta cần tìm các giá trị nguyên của \( m \) trong khoảng \( [-10, 10] \) sao cho \( m > -\frac{1}{5} \).

Phạm vi giá trị nguyên thỏa mãn trên là:

\[
m = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
\]

### Tổng hợp

Số lượng giá trị nguyên thỏa mãn là \( 11 \) giá trị:

\[
\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}
\]

Vậy có:

\[
\boxed{11} \text{ giá trị nguyên của } m.
\]