Để viết phương trình tham số của đường thẳng \( d \) đi qua điểm \( A(3; -4; 5) \) và vuông góc với mặt phẳng \( (P): x - 2y + z - 4 = 0 \), ta thực hiện các bước sau:

1. **Tìm vector pháp tuyến của mặt phẳng \( (P) \)**:
Mặt phẳng \( (P) \) có vector pháp tuyến được xác định bởi hệ số của \( x, y, z \) trong phương trình mặt phẳng:
\[
\vec{n} = (1, -2, 1)
\]

2. **Xác định vector chỉ phương của đường thẳng \( d \)**:
Vì đường thẳng \( d \) vuông góc với mặt phẳng \( (P) \), nên vector chỉ phương \( \vec{v} \) của đường thẳng \( d \) sẽ trùng với vector pháp tuyến \( \vec{n} \):
\[
\vec{v} = (1, -2, 1)
\]

3. **Viết phương trình tham số của đường thẳng \( d \)**:
Đường thẳng \( d \) đi qua điểm \( A(3, -4, 5) \) và có vector chỉ phương \( \vec{v} \). Phương trình tham số của đường thẳng có thể được viết như sau:
\[
\begin{cases}
x = 3 + t \cdot 1 \\
y = -4 + t \cdot (-2) \\
z = 5 + t \cdot 1
\end{cases}
\]

Khi đó, ta có:
\[
\begin{cases}
x = 3 + t \\
y = -4 - 2t \\
z = 5 + t
\end{cases}
\]

Trong đó, \( t \) là tham số. Phương trình tham số của đường thẳng \( d \) là:
\[
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
3 \\
-4 \\
5
\end{pmatrix} + t \begin{pmatrix}
1 \\
-2 \\
1
\end{pmatrix}
\]