Để chứng minh tam giác \( ABD \) đồng dạng với tam giác \( ACE \), ta sử dụng lý thuyết về tam giác đồng dạng và tỉ lệ cạnh.

### a) Chứng minh \( \triangle ABD \sim \triangle ACE \)

**Cách chứng minh**:
1. **Tỉ lệ các cạnh tương ứng**: Nếu có một góc chung hoặc tỉ lệ cạnh tương ứng giữa các tam giác đó thì ta có thể kết luận rằng chúng đồng dạng.
2. **Góc \( A \)** là góc chung của hai tam giác.
3. **Đường cao**: Các đường cao \( BD \) và \( CE \) cao từ các đỉnh của tam giác \( ABC \) xuống các cạnh đối diện. Vì vậy, có thể sử dụng tỉ lệ diện tích hoặc tỉ lệ dài để chứng minh sự đồng dạng.

**Kết luận**: Nếu các điều kiện trên thỏa mãn, ta kết luận \( \triangle ABD \sim \triangle ACE \).

### b) Chứng minh \( CH \cdot CE = CD \cdot CA \)

**Cách chứng minh**:
1. Sử dụng tính chất của tích của các cạnh phân giác.
2. Kết hợp với các tỉ lệ đã chứng minh được ở phần a.
3. Theo định lý về tỉ lệ cạnh trong tam giác đồng dạng, ta có thể thiết lập và chứng minh rằng tích các đoạn thẳng như yêu cầu là đúng.

### c) Chứng minh rằng \( AH \parallel IK \)

**Cách chứng minh**:
1. Đầu tiên, xét tam giác \( AEK \), với \( AH \) vuông góc với \( AC \) và \( IK \) vuông góc với \( DI \).
2. Từ đó, nếu \( AH \) và \( IK \) cùng vuông với một đường thẳng (trong trường hợp này là \( AC \)), ta có thể kết luận rằng \( AH \) song song với \( IK \).
3. Sử dụng định lý về các đường thẳng song song và tính chất của góc.

### Kết luận chung:
- Qua các bước trên, ta đã có thể chứng minh được các yêu cầu trong bài toán. Nếu cần thiết, có thể sử dụng hình vẽ để minh họa rõ ràng hơn.