Để chứng minh \( \frac{3}{5} < A < \frac{31}{40} \) với \( A = \sum_{n=51}^{100} \frac{1}{n} \), chúng ta sẽ phân tích từng phần và sử dụng một vài ước lượng.

### Bước 1: Tính \( A \)

\( A = \frac{1}{51} + \frac{1}{52} + \frac{1}{53} + \ldots + \frac{1}{100} \)

### Bước 2: Nhận xét và ước lượng

Chúng ta có thể sử dụng ước lượng:

**Upper bound:**
Ta biết rằng:

\[
\frac{1}{n} \leq \frac{1}{51} \text{ cho } n \in [51, 100].
\]

Số hạng của tổng là 50, do đó:

\[
A < 50 \cdot \frac{1}{51} = \frac{50}{51}.
\]

Tính giá trị:

\[
\frac{50}{51} \approx 0.9804.
\]

**Lower bound:**
Để ước lượng giá trị lớn nhất của \( A \):

\[
\frac{1}{n} \geq \frac{1}{100} \text{ cho } n \in [51, 100].
\]

Với 50 số hạng, ta có:

\[
A > 50 \cdot \frac{1}{100} = \frac{50}{100} = \frac{1}{2} = 0.5.
\]

### Bước 3: Tính các giới hạn

**Tính \( \frac{3}{5} \) và \( \frac{31}{40} \)**:

\[
\frac{3}{5} = 0.6 \quad \text{và} \quad \frac{31}{40} = 0.775.
\]

### Bước 4: So sánh

Chúng ta đã có:

\[
0.5 < A < 0.9804.
\]

Như vậy \( A \) có thể nằm trong khoảng từ \( \frac{3}{5} = 0.6 \) đến \( \frac{31}{40} = 0.775 \).

### Kết luận

Từ các ước lượng trên, ta có thể kết luận rằng:

\[
\frac{3}{5} < A < \frac{31}{40}
\]

Chứng minh hoàn tất!