Để giải bài tập này, ta sẽ thực hiện từng phần một.

### a) Tính AC, BH, HBC biết AB = 8 cm, AD = 6 cm

1. **Tính chiều dài AC**:
- Hình chữ nhật có các cạnh đối diện bằng nhau.
- Ta có: \( AC = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \, \text{cm} \)

2. **Tính BH**:
- Gọi \( BH = h \). Ta cần tính chiều cao \( h \) từ điểm H đến AC.
- Theo hình vẽ, \( HBC \) là một tam giác vuông, có \( AC \) là cạnh huyền, độ dài \( HB \) là một cạnh chân, do đó:
\[
BH = h = \frac{AB \cdot AD}{AC} = \frac{8 \cdot 6}{10} = \frac{48}{10} = 4.8 \, \text{cm}
\]

3. **Tính HBC**:
- Theo định lý Pythagore, ta có:
\[
HBC = \sqrt{AC^2 - BH^2} = \sqrt{10^2 - 4.8^2} = \sqrt{100 - 23.04} = \sqrt{76.96} \approx 8.76 \, \text{cm}
\]

### b) Chứng minh \( BH^2 = HE \cdot HF \)

1. **Tam giác HBF**:
- Sử dụng tính chất của tam giác vuông \( BH \), ta có:
\[
BH^2 = HE \cdot HF
\]
- Một cách hình học hơn, \( BH \) là cao từ B xuống AC, nên diện tích của tam giác HBF có thể viết lại theo chiều cao và cạnh đáy.

### c) Chứng minh \( S_{AIB} = S_{AEB} \cdot \sin^2 \angle ACD \)

1. **Diện tích tam giác AIB** là:
\[
S_{AIB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BH
\]
2. **Diện tích tam giác AEB**:
\[
S_{AEB} = \frac{1}{2} \cdot AE \cdot HE
\]

3. Sử dụng công thức tính diện tích và tính góc để so sánh chúng.

Hy vọng phương pháp giải này sẽ hỗ trợ bạn trong việc xác định các thông số cần thiết trong hình chữ nhật. Nếu bạn có câu hỏi nào khác hoặc cần hướng dẫn thêm, hãy cho tôi biết!