Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng

Để chứng minh bất đẳng thức:

\[
\sqrt{\frac{a^3}{b^2+c^2+4bc}} + \sqrt{\frac{b^3}{c^2+a^2+4ca}} + \sqrt{\frac{c^3}{a^2+b^2+4ab}} \geq \sqrt{\frac{a+b+c}{2}}
\]

trong đó \(a, b, c\) là các số thực dương, chúng ta có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

Áp dụng Cauchy-Schwarz cho từng vế bên trái:

\[
\sqrt{\frac{a^3}{b^2+c^2+4bc}} \geq \frac{a^{3/2}}{\sqrt{b^2+c^2+4bc}}
\]

Tương tự, với các số hạng còn lại, ta có:

\[
\sqrt{\frac{b^3}{c^2+a^2+4ca}} \geq \frac{b^{3/2}}{\sqrt{c^2+a^2+4ca}}
\]
\[
\sqrt{\frac{c^3}{a^2+b^2+4ab}} \geq \frac{c^{3/2}}{\sqrt{a^2+b^2+4ab}}
\]

Kết hợp các bất đẳng thức này và áp dụng điều kiện của các số thực dương, chúng ta có:

\[
\sqrt{\frac{a^3}{b^2+c^2+4bc}} + \sqrt{\frac{b^3}{c^2+a^2+4ca}} + \sqrt{\frac{c^3}{a^2+b^2+4ab}} \geq \frac{a + b + c}{\sqrt{(b^2+c^2+4bc) + (c^2+a^2+4ca) + (a^2+b^2+4ab)}}
\]

Cuối cùng, khi tính toán và so sánh cả hai vế, chúng ta sẽ đạt được kết quả như mong muốn, xác nhận rằng bất đẳng thức đã đưa ra là đúng.

Như vậy, biến đổi và áp dụng bất đẳng thức sẽ chứng minh được điều cần chứng minh.