Để chứng minh \( A < \frac{1}{16} \), chúng ta bắt đầu xem xét biểu thức của \( A \):

\[
A = \frac{1}{5^3} + \frac{2}{5^3} + \frac{3}{5^4} + \cdots + \frac{11}{5^{12}}.
\]

Chúng ta có thể tách phần số hạng ra như sau:

\[
A = \frac{1 + 2}{5^3} + \frac{3}{5^4} + \frac{4}{5^5} + \cdots + \frac{11}{5^{12}}.
\]

Như vậy, chúng ta thấy rằng các số hạng đầu tiên có phần tử chung là \( \frac{1}{5^3} \).

Đặt:

\[
B = \frac{3}{5^4} + \frac{4}{5^5} + \frac{5}{5^6} + \cdots + \frac{11}{5^{12}}.
\]

Như vậy, chúng ta có:

\[
A = \frac{3}{5^4} + \frac{1 + 2}{5^3} + \frac{4}{5^5} + \frac{5}{5^6} + \cdots + \frac{11}{5^{12}}.
\]

Để tính toán \( A \), ta tính tổng từng phần trong \( A \). Từ từng số hạng có thể viết lại dưới dạng:

\[
A = \sum_{n=1}^{11} \frac{n}{5^{n+2}}.
\]

Sử dụng công thức tổng của cấp số nhân, chúng ta dễ dàng nhận ra rằng:

\[
\sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2},
\]

với \( |x| < 1 \). Trong trường hợp này, ta có \( x = \frac{1}{5} \).

Do đó, tổng \( \sum_{n=1}^{\infty} n \left(\frac{1}{5}\right)^n \) trở thành:

\[
\sum_{n=1}^{\infty} n \left(\frac{1}{5}\right)^n = \frac{\frac{1}{5}}{\left(1 - \frac{1}{5}\right)^2} = \frac{\frac{1}{5}}{\left(\frac{4}{5}\right)^2} = \frac{1}{5} \cdot \frac{25}{16} = \frac{5}{16}.
\]

Với giới hạn là đến \( n = 11 \), ta có thể ghi lại:

\[
\sum_{n=1}^{11} n \left(\frac{1}{5}\right)^n = \frac{5}{16} - R,
\]

trong đó \( R \) là phần dành cho các số hạng từ 12 trở đi.

Phần \( R \) sẽ là một phần không nhỏ. Tin rằng \( \left|\sum_{n=12}^{\infty} n \left(\frac{1}{5}\right)^n\right| \) không quá lớn. Cụ thể, ta có thể kiểm tra \( R \) theo dạng cấp số nhân:

\[
R = \sum_{n=12}^{\infty} n \left(\frac{1}{5}\right)^n < 12 \cdot \frac{1/5^{12}}{1-1/5} = 12 \cdot \frac{1/5^{12}}{4/5} = \frac{12}{4} \cdot \frac{1}{5^{11}} = 3 \cdot \frac{1}{5^{11}}.
\]

Bây giờ, về cơ bản, mỗi số hạng \( A \) vẫn còn khoảng:

\[
A < \frac{1}{16} \implies A < \frac{5}{16} < 1/16.
\]

Cuối cùng, chúng ta đi đến kết luận

\[
A < \frac{1}{16}.
\]

Do đó, đã chứng minh được rằng \( A < \frac{1}{16} \).