Để chứng minh rằng \( Ax \parallel Cy \) khi có điều kiện \( \angle ABC = \angle A + \angle C \), ta sẽ sử dụng định lý về các đường thẳng song song.

1. **Thiết lập**:
- Gọi \( \angle ABC = \theta \).
- Gọi \( \angle A = \alpha \) và \( \angle C = \beta \).
- Theo giả thiết, ta có:
\[
\theta = \alpha + \beta.
\]

2. **Góc đồng vị**:
- Khi hai đường thẳng cắt nhau tạo thành các góc đồng vị thì các góc này bằng nhau.

3. **Góc trong cùng bên**:
- Nếu \( Ax \) và \( Cy \) cắt nhau tại điểm \( B \), các góc \( \angle ABE \) và \( \angle CBE \) là các góc trong cùng bên.
- Theo định nghĩa về góc trong cùng bên, nếu tổng hai góc này bằng 180 độ, thì \( Ax \) và \( Cy \) là hai đường thẳng song song.

4. **Kết luận**:
- Từ giả thiết \( \angle ABC = \angle A + \angle C \) và kết quả trên, ta có thể kết luận rằng \( Ax \parallel Cy \).

Như vậy, điều kiện đã cho chứng tỏ rằng \( Ax \) và \( Cy \) là song song.