Tìm dư trong phép chia 3^2024 cho 13; phép chia 5^2024 cho 7

Để tìm dư trong phép chia \(3^{2024}\) cho \(13\) và \(5^{2024}\) cho \(7\), chúng ta sẽ áp dụng Định lý Fermat.

1. **Tìm dư của \(3^{2024}\) mod \(13\)**:

Theo Định lý Fermat, nếu \(p\) là số nguyên tố và \(a\) là số nguyên không chia hết cho \(p\), thì:
\[
a^{p-1} \equiv 1 \mod p
\]
Với \(a = 3\) và \(p = 13\), ta có \(3^{12} \equiv 1 \mod 13\).

Chúng ta cần tính \(2024 \mod 12\):
\[
2024 \div 12 = 168 \quad \text{(dư 0)} \quad \Rightarrow \quad 2024 \mod 12 = 0
\]
Do đó:
\[
3^{2024} = (3^{12})^{168} \equiv 1^{168} \equiv 1 \mod 13
\]

Vậy \(3^{2024} \equiv 1 \mod 13\).

2. **Tìm dư của \(5^{2024}\) mod \(7\)**:

Áp dụng Định lý Fermat với \(a = 5\) và \(p = 7\), ta có \(5^{6} \equiv 1 \mod 7\).

Tiếp theo, tính \(2024 \mod 6\):
\[
2024 \div 6 = 337 \quad \text{(dư 2)} \quad \Rightarrow \quad 2024 \mod 6 = 2
\]
Vì vậy:
\[
5^{2024} \equiv 5^{2} \mod 7
\]
Tính \(5^2\):
\[
5^2 = 25
\]
Tìm \(25 \mod 7\):
\[
25 \div 7 = 3 \quad \text{(dư 4)} \quad \Rightarrow \quad 25 \equiv 4 \mod 7
\]

Vậy \(5^{2024} \equiv 4 \mod 7\).

**Kết quả:**
- Dư của \(3^{2024}\) khi chia cho \(13\) là \(1\).
- Dư của \(5^{2024}\) khi chia cho \(7\) là \(4\).