Để giải bài toán này, chúng ta đặt số chi tiết máy của tổ 1 sản xuất trong tháng 1 là \( x \) và số chi tiết máy của tổ 2 sản xuất trong tháng 1 là \( y \).

Từ thông tin đã cho, chúng ta có hai phương trình:

1. Tổng sản phẩm của hai tổ trong tháng 1:
\[
x + y = 720
\]

2. Sản xuất của hai tổ trong tháng 2 (vượt mức):
- Tổ 1 vượt mức 15%, tức là sản phẩm của tổ 1 trong tháng 2 là \( x + 0.15x = 1.15x \).
- Tổ 2 vượt mức 12%, tức là sản phẩm của tổ 2 trong tháng 2 là \( y + 0.12y = 1.12y \).
- Tổng sản phẩm của cả hai tổ trong tháng 2 là 819:
\[
1.15x + 1.12y = 819
\]

Bây giờ chúng ta có hệ phương trình:
\[
\begin{cases}
x + y = 720 \quad (1)\\
1.15x + 1.12y = 819 \quad (2)
\end{cases}
\]

Từ phương trình (1), ta có thể biểu diễn \( y \) theo \( x \):
\[
y = 720 - x
\]

Thay \( y \) vào phương trình (2):
\[
1.15x + 1.12(720 - x) = 819
\]

Giải phương trình này:
\[
1.15x + 806.4 - 1.12x = 819
\]
\[
(1.15 - 1.12)x + 806.4 = 819
\]
\[
0.03x + 806.4 = 819
\]
\[
0.03x = 819 - 806.4
\]
\[
0.03x = 12.6
\]
\[
x = \frac{12.6}{0.03} = 420
\]

Vậy số chi tiết máy tổ 1 sản xuất trong tháng 1 là \( x = 420 \).

Để tìm \( y \):
\[
y = 720 - x = 720 - 420 = 300
\]

Vậy số chi tiết máy của hai tổ trong tháng 1 là:
- Tổ 1: 420 chi tiết máy
- Tổ 2: 300 chi tiết máy

Kiểm tra lại với phương trình trong tháng 2:
\[
Tổ 1: 1.15 \times 420 = 483
\]
\[
Tổ 2: 1.12 \times 300 = 336
\]
\[
483 + 336 = 819
\]

Như vậy, kết quả đúng. Số chi tiết máy của mỗi tổ làm được trong tháng 1 là:
- Tổ 1: 420 chi tiết máy
- Tổ 2: 300 chi tiết máy.