Để giải bài toán, chúng ta sẽ xử lý từng phần một.

1. **Giải phương trình |x - 2| = 12:**
- Có hai trường hợp:
- Trường hợp 1: \( x - 2 = 12 \)
\[
x = 12 + 2 = 14
\] (không thỏa mãn vì x phải là số nguyên âm)
- Trường hợp 2: \( x - 2 = -12 \)
\[
x = -12 + 2 = -10
\] (thỏa mãn vì x là số nguyên âm)

Vậy \( x = -10 \).

2. **Giải phương trình |y + 1| = 2025:**
- Có hai trường hợp:
- Trường hợp 1: \( y + 1 = 2025 \)
\[
y = 2025 - 1 = 2024
\] (thỏa mãn vì y là số nguyên dương)
- Trường hợp 2: \( y + 1 = -2025 \)
\[
y = -2025 - 1 = -2026
\] (không thỏa mãn vì y phải là số nguyên dương)

Vậy \( y = 2024 \).

3. **Tính giá trị của A:**
\[
A = 202x + y - 4
\]
Thay \( x = -10 \) và \( y = 2024 \) vào biểu thức:
\[
A = 202 \cdot (-10) + 2024 - 4
\]
\[
A = -2020 + 2024 - 4
\]
\[
A = -2020 + 2020
\]
\[
A = 0
\]

Cuối cùng, giá trị của \( A \) là \( \boxed{0} \).