a)Vì ΔABCΔABCcân tại A (gt) ⇒\hept{B^=C^(1)AB=AC(4)⇒\hept{B=C(1)AB=AC(4)​

Vì DE // BC (gt) ⇒\hept{ADE^=DBC^(2)AED^=ECB^(3)⇒\hept{ADE=DBC(2)AED=ECB(3)​

Từ (1),(2)(3)⇒ADE^=AED^(1),(2)(3)⇒ADE=AED

ΔAEDΔAEDcó:

ADE^=AED^(cmt)ADE=AED(cmt)

⇒ΔAED⇒ΔAEDcân tại A (tính chất)

=> AE =AD (định nghĩa) (5)

Từ (4),(5) => BD =CE (6)

Vì DE // BC (gt)⇒EDC^=DCB^⇒EDC=DCB(2 góc so le trong) 

mà DCB^=DCE^DCB=DCE(CD là phân giác của ACB^ACB)

⇒EDC^=DCE^⇒EDC=DCE

ΔEDCΔEDCcó: 

EDC^=DCE^(cmt)(9)EDC=DCE(cmt)(9)

⇒ΔEDC⇒ΔEDCcân tại E (tính chất)

=> ED = EC (định nghĩa) (7)

Từ (6), (7) => BD = DE (15)
Lấy K thuốc tia đối của tia DF

Ta có: KDC^=90o⇒EDC^+DCK^=90o(8)KDC=90o⇒EDC+DCK=90o(8)

ΔKDCΔKDCcó:

KDC^=90oKDC=90o

⇒DKC^+DCK^=90o⇒DKC+DCK=90o(tổng 3 góc trong 1 tam giác, áp dụng vào tam giác vuông) (10)

Từ (8), (9), (10) => DKC^=KDE^DKC=KDE

ΔEDKΔEDKcó:

EDK^=EKD^(cmt)EDK=EKD(cmt)

⇒ΔEDK⇒ΔEDKcân tại E (tính chất)

=> ED =EK (định nghĩa) (11)

Từ (7),(11) => ED = EC = EK

Ta có: CK = EC + EK

mà ED = EC = EK (cmt)

=> CK= ED + ED 

=> CK =2.ED (12)

ΔCDKΔCDKvà ΔCDFΔCDFcó:

DCK^=CDF^DCK=CDF

chung cạnh CD

CDK^=CDF^(=90o)CDK=CDF(=90o)

⇒ΔCDK=ΔCDF⇒ΔCDK=ΔCDF(góc nhọn - cạnh góc vuông)

=> CK = CF(2 cạnh tương ứng) (13)

Từ (12),(13) => CF = 2.ED (14)

Từ (14),(15) => CF = 2.BD

b) ΔAMDΔAMDvà ΔAMEΔAMEcó:

AD = AE (câu a)

MAD^=MAE^(gt)MAD=MAE(gt)

chung AM

⇒ΔAMD=ΔAME(c.g.c)⇒ΔAMD=ΔAME(c.g.c)

=> MD = ME (2 cạnh tương ứng)

Ta có: ED = MD + ME

mà MD = ME (cmt)
=> ED = MD + MD

=> ED = 2.MD 

=> 2.ED = 2.2MD 

=>2.ED = 4.MD (16)

Từ (14),(16) => CF = 4.MD