Để tìm số tự nhiên \( n \) sao cho \( n + 2 \) và \( n + 9 \) đều là số chính phương, ta sẽ đặt:

\[
n + 2 = k^2 \quad (1)
\]
\[
n + 9 = m^2 \quad (2)
\]

với \( k \) và \( m \) là các số tự nhiên.

Từ (1), ta có:

\[
n = k^2 - 2
\]

Thay vào (2), ta được:

\[
k^2 - 2 + 9 = m^2
\]
\[
k^2 + 7 = m^2
\]

Sắp xếp lại, ta có:

\[
m^2 - k^2 = 7
\]

Vì \( m^2 - k^2 \) có thể được phân tích dưới dạng hiệu hai bình phương, ta có:

\[
(m-k)(m+k) = 7
\]

Ta xét các cặp số tự nhiên \( (m-k) \) và \( (m+k) \) sao cho tích của chúng bằng 7. Các cặp khả dĩ là:

- \( (1, 7) \)
- \( (7, 1) \)

**1. Xét cặp \( (1, 7) \):**

\[
m - k = 1 \quad (3)
\]
\[
m + k = 7 \quad (4)
\]

Cộng (3) và (4):

\[
2m = 8 \implies m = 4
\]

Giảm (4) với (3):

\[
2k = 6 \implies k = 3
\]

Vậy ta có \( k = 3 \) và \( m = 4 \).

Thay vào công thức để tính \( n \):

\[
n = k^2 - 2 = 3^2 - 2 = 9 - 2 = 7
\]

**2. Xét cặp \( (7, 1) \):**

\[
m - k = 7 \quad (5)
\]
\[
m + k = 1 \quad (6)
\]

Cộng (5) và (6):

\[
2m = 8 \implies m = 4
\]

Giảm (6) với (5):

\[
2k = -6 \implies k = -3
\]

\( k \) không phải là số tự nhiên, vì vậy cặp này không hợp lệ.

Cuối cùng, chúng ta có được giá trị \( n \):

\[
\text{Khả năng duy nhất: } n = 7.
\]

Để kiểm tra:

- \( n + 2 = 7 + 2 = 9 = 3^2 \) (là số chính phương),
- \( n + 9 = 7 + 9 = 16 = 4^2 \) (cũng là số chính phương).

Do đó, số tự nhiên \( n \) thỏa mãn điều kiện là:

\[
\boxed{7}.
\]