Chúng ta có phương trình:

\[
\frac{3^x}{2^x} = \left( \frac{13}{4} - 1 \right)^{2}
\]

Trước tiên, chúng ta tính giá trị của \( \frac{13}{4} - 1 \):

\[
\frac{13}{4} - 1 = \frac{13}{4} - \frac{4}{4} = \frac{13 - 4}{4} = \frac{9}{4}
\]

Do đó, phương trình trở thành:

\[
\frac{3^x}{2^x} = \left( \frac{9}{4} \right)^{2}
\]

Bây giờ tính \( \left( \frac{9}{4} \right)^{2} \):

\[
\left( \frac{9}{4} \right)^{2} = \frac{81}{16}
\]

Vậy phương trình có thể viết lại như sau:

\[
\frac{3^x}{2^x} = \frac{81}{16}
\]

Chúng ta có thể biến đổi phương trình này thành:

\[
\frac{3^x}{2^x} = \frac{81}{16}
\]

Bằng cách nhân chéo, chúng ta có:

\[
3^x \cdot 16 = 81 \cdot 2^x
\]

Chia hai vế cho \( 16 \):

\[
3^x = \frac{81 \cdot 2^x}{16}
\]

Tiếp tục, biết rằng \( 81 = 3^4 \) và \( 16 = 2^4 \), chúng ta có:

\[
3^x = \frac{3^4 \cdot 2^x}{2^4} = 3^4 \cdot 2^{x - 4}
\]

Bây giờ, ta đưa tất cả các số hạng có chứa \( 3 \) về một phía và các số hạng có chứa \( 2 \) về phía còn lại:

\[
3^x = 3^4 \cdot 2^{x - 4}
\]

Chia cả hai bên cho \( 3^x \):

\[
1 = 3^{4-x} \cdot 2^{x - 4}
\]

Chúng ta có:

\[
3^{4-x} \cdot 2^{x - 4} = 1
\]

Để phương trình này đúng, cả hai số hạng phải có giá trị bằng nhau và bằng 1. Do đó:

\[
3^{4-x} = 1 \quad \text{ và } \quad 2^{x - 4} = 1
\]

Từ \( 3^{4-x} = 1 \), ta suy ra \( 4 - x = 0 \Rightarrow x = 4 \).

Từ \( 2^{x - 4} = 1 \), ta có \( x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4 \).

Vậy giá trị của \( x \) là:

\[
\boxed{4}
\]