Để biểu thức được xác định, ta cần phân tích từng trường hợp:

a) \( \sqrt{3x - 9} \):
- Điều kiện: \( 3x - 9 \geq 0 \)
- Giải: \( 3x \geq 9 \) → \( x \geq 3 \)

b) \( -4\sqrt{2x + 5} \):
- Điều kiện: \( 2x + 5 \geq 0 \)
- Giải: \( 2x \geq -5 \) → \( x \geq -\frac{5}{2} \)

c) \( \sqrt{10 - 5x} \):
- Điều kiện: \( 10 - 5x \geq 0 \)
- Giải: \( 5x \leq 10 \) → \( x \leq 2 \)

d) \( 54 - \sqrt{26 - (x - 2)} \):
- Điều kiện: \( 26 - (x - 2) \geq 0 \)
- Giải: \( 28 \geq x \) → \( x \leq 28 \)

e) \( \sqrt{100 + x^2} \):
- Luôn xác định với mọi \( x \) (biểu thức trong căn luôn không âm).

f) \( \sqrt{x^2 - 2x + 1 - 3x} \):
- Điều kiện: \( x^2 - 5x + 1 \geq 0 \)
- Giải: Phương trình bậc hai:
- Tính \(\Delta\): \( \Delta = 25 - 4 = 21 \) → có 2 nghiệm.
- Nghiệm: \( x_1 = \frac{5 - \sqrt{21}}{2} \), \( x_2 = \frac{5 + \sqrt{21}}{2} \).
- Biểu thức dạng \( (x - \frac{5}{2})^2 - \frac{21}{4} \).
- Kết luận: \( x \leq \frac{5 - \sqrt{21}}{2} \) hoặc \( x \geq \frac{5 + \sqrt{21}}{2} \).

Tóm lại, điều kiện để các biểu thức trên được xác định là:
- a): \( x \geq 3 \)
- b): \( x \geq -\frac{5}{2} \)
- c): \( x \leq 2 \)
- d): \( x \leq 28 \)
- e): Tất cả các \( x \)
- f): \( x \leq \frac{5 - \sqrt{21}}{2} \) hoặc \( x \geq \frac{5 + \sqrt{21}}{2} \)